Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = {x^4} - m{x^2} cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, gốc tọa độ O và B sao cho tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - m{x^2}\) với trục hoành là: \({x^4} - m{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {{x^2} = m} \end{array}} \right.\).

Suy ra đồ thị hàm số \(y = {x^4} - m{x^2}\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi m>0.

Khi đó A, B lần lượt có hoành độ là \(- \sqrt m ,{\rm{ }}\sqrt m .\)

Ta có \(y' = 4{x^3} - 2mx\), tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

\(y'\left( { - \sqrt m } \right)y'\left( {\sqrt m } \right) = - 1\)

\(\Leftrightarrow \left( { - 4m\sqrt m + 2m\sqrt m } \right)\left( {4m\sqrt m - 2m\sqrt m } \right) = - 1\)

\(\Leftrightarrow 4{m^3} = 1 \Leftrightarrow m = \frac{{\sqrt[3]{2}}}{2}.\)