YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}\) tại hai điểm M, N sao cho độ dài MN nhỏ nhất:

    • A. 3
    • B. -1
    • C. 2
    • D. 1

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: A

    Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số là:

    \(2x + m = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}\left( {x \ne 1} \right) \Leftrightarrow 2{x^2} + (m + 1)x + m - 3 = 0\) (*)

    Ta có: \(\Delta  = {\left( {m + 1} \right)^2} - 8(m - 3) = {m^2} - 6m + 25 = {(m - 3)^2} + 16 > 0\forall m\)

    => (*) luôn có hai nghiệm phân biệt  với mọi m.

    Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
    {x_1} + {x_2} =  - \frac{{m + 1}}{2}\\
    {x_1}{x_2} = \frac{{m - 3}}{2}
    \end{array} \right.\)

    Gọi \(M({x_1};2{x_1} + m),N({x_2};2{x_2} + m)\) là hai giao điểm của 2 đồ thị hàm số.

    Khi đó ta có: 

    \(\begin{array}{l}
    M{N^2} = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {2{x_2} - 2{x_1}} \right)^2} = 5{({x_2} - {x_1})^2}\\
     = 5\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right] = 5\left[ {\frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{4} - 4.\frac{{m - 3}}{2}} \right]\\
     = \frac{5}{4}\left( {{m^2} + 2m + 1 - 8m + 24} \right) = \frac{5}{4}\left( {{m^2} - 6m + 25} \right)\\
     = \frac{5}{4}{\left( {m - 3} \right)^2} + 20 \ge 20\forall m
    \end{array}\)

    Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = 3\)

    ADSENSE

Mã câu hỏi: 65524

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF