ADMICRO
VIDEO
  • Câu hỏi:

    Cho hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) có đồ thị (P). Xét các điểm A, B thuộc (P) sao cho tiếp tuyến tại A và B của (P) vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB bằng 9/4 . Gọi \({x_1},{x_2}\)  lần lượt là hoành độ của A và B. Giá trị của \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\) bằng:

    • A. 7
    • B. 5
    • C. 13
    • D. 11

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: B

    \((P):y = \frac{1}{2}{x^2}\)

    TXĐ: D = R. Ta có y’ = x

    Giả sử \(A\left( {{x_1};\frac{1}{2}x_1^2} \right);B\left( {{x_2};\frac{1}{2}x_2^2} \right) \in (P)({x_1} \ne {x_2})\)

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm A của (P) là \(y = {x_1}(x - {x_1}) + \frac{1}{2}x_1^2 \Leftrightarrow y = {x_1}x - \frac{1}{2}x_1^2({d_1})\)

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm B của (P) là  \(y = {x_2}(x - {x_2}) + \frac{1}{2}x_2^2 \Leftrightarrow y = {x_2}x - \frac{1}{2}x_2^2({d_1})\)

    Do \(({d_1}) \bot ({d_2})\) nên ta có  \({x_1}{x_2} =  - 1 \Leftrightarrow {x_2} = \frac{{ - 1}}{{{x_1}}}\)

    Phương trình đường thẳng AB:

    \(\begin{array}{l}
    \frac{{x - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{y - \frac{1}{2}x_1^2}}{{\frac{1}{2}x_2^2 - \frac{1}{2}x_1^2}} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x_2^2 - x_1^2} \right) = \left( {y - \frac{1}{2}x_1^2} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\\
     \Leftrightarrow (x - {x_1})({x_2} + {x_1}) = 2y - x_1^2 \Leftrightarrow ({x_1} + {x_2})x - 2y - {x_1}{x_2} = 0\\
     \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}\left[ {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)x - {x_1}{x_2}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)x + 1} \right]
    \end{array}\)

    Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi AB, (P) là:

    \(\begin{array}{l}
    S = \frac{1}{2}\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)x + 1 - {x^2}} \right)dx} \\
     \Leftrightarrow \frac{9}{4} = \frac{1}{2}\left( {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\frac{{{x^2}}}{2} + x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {_{{x_1}}^{{x_2}}} \right.\\
     \Leftrightarrow \frac{9}{4} = \frac{1}{2}\left[ {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {\frac{{x_2^2}}{2} - \frac{{x_1^2}}{2}} \right) + \left( {{x_2} - {x_1}} \right) - \frac{{x_2^3 - x_1^3}}{3}} \right]\\
     \Leftrightarrow \frac{9}{4} = \frac{1}{2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_2^2 - x_1^2} \right) + ({x_2} - {x_1}) - \frac{{x_2^3 - x_1^3}}{3}\\
     \Leftrightarrow 27 = 3\left( {{x_1}x_2^2 - x_1^3 + x_2^3 - x_1^2{x_2}} \right) + 6\left( {{x_2} - {x_1}} \right) - 2x_2^3 + 2x_1^3\\
     \Leftrightarrow 27 = 3{x_1}x_2^2 - 3{x_1}x_2^2 + x_2^3 - x_1^3 + 6({x_2} - {x_1})\\
     \Leftrightarrow 27 =  - 3({x_2} - {x_1}) + ({x_2} - {x_1})\left( {x_1^2 + x_2^2 - 1} \right) + 6({x_2} - {x_1})\\
     \Leftrightarrow 27 = 3({x_2} - {x_1}) + ({x_2} - {x_1})\left( {x_1^2 + x_2^2 - 1} \right)\\
     \Leftrightarrow 27 = ({x_2} - {x_1})\left( {x_1^2 + x_2^2 + 2} \right)\\
     \Leftrightarrow 27 = ({x_2} - {x_1})\left( {x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2}} \right)\\
     \Leftrightarrow 27 = ({x_2} - {x_1}){({x_2} - {x_1})^2} = {({x_2} - {x_1})^3}\\
     \Leftrightarrow {x_2} - {x_1} = 3
    \end{array}\)

    Thay \({x_2} = \frac{{ - 1}}{{{x_1}}}\) ta có:

    \(\frac{{ - 1}}{{{x_1}}} - {x_1} = 3 \Leftrightarrow  - 1 - x_1^2 - 3{x_1} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    {x_1} = \frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2} \Rightarrow {x_2} = \frac{2}{{3 + \sqrt 5 }}\\
    {x_1} = \frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2} \Rightarrow {x_2} = \frac{{ - 2}}{{ - 3 + \sqrt 5 }}
    \end{array} \right. \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 5\)

     

    ADSENSE

Mã câu hỏi: 65656

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

ADMICRO

 

YOMEDIA
OFF