Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH và đường trung tuyến AM \(\left( {H,M \in BC} \right)\) . Biết chu vi của tam giác là 72cm và AM – AH = 7 (cm). Tính diện tích S của tam giác ABC.

Đặt AH = a (a > 0 ) khi đó ta có: AM = a + 7 (cm).

Lại có tam giác ABC vuông tại A, có trung tuyến AM nên BC = 2AM

\( \Rightarrow BC = 2\left( {a + 7} \right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có: \(AB.AC = AH.BC = 2a.\left( {a + 7} \right) = 2{a^2} + 14a.\,\,\left( 1 \right)\)

Chu vi của tam giác bằng 72 nên ta có: \(AB + AC + BC = 72 \Rightarrow AB + AC = 72 - 2\left( {a + 7} \right)\) 

Áp dụng định lý Py – ta – go trong tam giác vuông ABC ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} = 4{\left( {a + 7} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2AB.AC = {\left( {AB + AC} \right)^2} - \left( {A{B^2} + A{C^2}} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {\left[ {72 - 2\left( {a + 7} \right)} \right]^2} - 4{\left( {a + 7} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2AB.AC = 4{\left( {29 - a} \right)^2} - 4{\left( {a + 7} \right)^2}\\ \Leftrightarrow AB.AC = 2\left( {841 - 58a + {a^2}} \right) - 2\left( {{a^2} + 14a + 49} \right)\\ \Leftrightarrow AB.AC = 1584 - 144a\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) ta có phương trình

\(2{a^2} + 14a = 1584 - 144a \Leftrightarrow {a^2} + 79a - 792 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 9\left( {tm} \right)\\a =  - 88\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy AH = 9 (cm); BC = 2(9 + 7) = 32 (cm). Khi đó diện tích của tam giác ABC là: \(S = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.9.32 = 144\left( {c{m^2}} \right).\)

Chọn D.