Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ

Gọi $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng song song với đáy của hình trụ và cắt đồng hồ cát.

Khi đó mặt cắt là một hình tròn có bán kính là x nên diện tích hình tròn là ${S_t} = \pi {R^2} = \pi {x^2}$

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, gọi phương trình paralol (P) là $y = a{x^2} + bx + c$

Vì (P) đi qua điểm $O\left( {0;0} \right),\,\,A\left( {4;4} \right),\,\,B\left( {4; - 4} \right)$

Nên phương trình $\left( P \right):y = \frac{{{x^2}}}{4} \Rightarrow {x^2} = 4y \Rightarrow S = 4\pi y$

$\Rightarrow$ Thể tích cát ban đầu là $V = \int\limits_0^h {{S_t}\,dy}$ vì mặt cắt vuông góc với Oy.

Suy ra $V = \int\limits_0^h {\left( {4\pi y} \right)dy}$ mà thể tích khối cát ${V_c} = 2,9.30 = 87\,c{m^3}$

$\Rightarrow \int\limits_0^h {\left( {4\pi y} \right)dy}  = 87 \Leftrightarrow 2\pi {y^2}\left| {\mathop {}\limits_0^h  = 87 \Rightarrow 2\pi {h^2} = 87 \Rightarrow h = \sqrt {\frac{{87}}{{2\pi }}} } \right.$

Vậy chiều cao của khối trụ bên ngoài là $2.\frac{4}{3}.h = 2.\frac{4}{3}.h = 2.\frac{4}{3}.\sqrt {\frac{{87}}{{2\pi }}}  \approx 9,92\,cm.$