Kí hiệu M và m lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số y=(x^2+x+4)/(x+1) trên đoạn [0;3]

Hàm số đã xác định và liên tục trên đoạn [0;3]

$y' = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - {x^2} - x - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}};{\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l} x \in \left( {0;3} \right)\\ y' = 0 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow x = 1.$

Ta có $f(0) = 4;f(1) = 3;f(3) = 4.$ 

Do đó $m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) = 3;{\rm{ }}M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) = 4 \Rightarrow \frac{M}{m} = \frac{4}{3}.$