Kết quả rút gọn của biểu thức A =({log _b^3a + 2log _b^2a + {{log }_b}a})({log }_a}b - {{log }_{ab}}b}) - {log _b}a vvới điều kiện biểu thức tồn tại là:

Ta có: $A = \left( {\log _b^3a + 2\log _b^2a + {{\log }_b}a} \right)\left( {\frac{1}{{{{\log }_a}b}} - \frac{1}{{1 + {{\log }_b}a}}} \right) - {\log _b}a.$

Đặt ${\log _b}a = t \Rightarrow A = \left( {{t^3} + 2{t^2} + t} \right)\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{{1 + t}}} \right) - t = t{\left( {t + 1} \right)^2}\frac{1}{{t\left( {t + 1} \right)}} - t = t + 1 - t = 1.$