Hai con lắc lò xo đặt đồng trục trên mặt phẳng ngang không ma sát

Tần số góc của hai con lắc là: 

\(\left\{ \begin{align} & {{\omega }_{1}}=\sqrt{\frac{{{k}_{1}}}{m}} \\ & {{\omega }_{2}}=\sqrt{\frac{{{k}_{2}}}{m}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \frac{{{\omega }_{2}}}{{{\omega }_{1}}}=\sqrt{\frac{{{k}_{2}}}{{{k}_{1}}}}=\sqrt{\frac{400}{100}}=2\Rightarrow {{\omega }_{2}}=2{{\omega }_{1}}=2\omega \)

Cơ năng của hai con lắc là: 

\(\left\{ \begin{align} & {{\text{W}}_{1}}=\frac{1}{2}{{k}_{1}}A_{1}^{2}\Rightarrow 0,125=\frac{1}{2}.100.A_{1}^{2}\Rightarrow {{A}_{1}}=0,05\left( m \right)=5\left( cm \right) \\ & {{\text{W}}_{2}}=\frac{1}{2}{{k}_{2}}A_{2}^{2}\Rightarrow 0,125=\frac{1}{2}.400.A_{2}^{2}\Rightarrow {{A}_{2}}=0,025\left( m \right)=2,5\left( cm \right) \\ \end{align} \right.\)

Tại thời điểm ban đầu, con lắc thứ nhất ở biên âm, con lắc thứ 2 ở biên dương 

\(\to \) hai con lắc dao động ngược pha.

Gọi phương trình dao động của hai con lắc là: 

\(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=5\cos \left( \omega t+\pi \right) \\ & {{x}_{2}}=2,5\cos \left( 2\pi t \right) \\ \end{align} \right.\)

Khoảng cách giữa hai vật trong quá trình dao động là:

\(\ell ={{O}_{1}}{{O}_{2}}+\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)=10+2,5\cos \left( 2\omega t \right)-5\cos \left( \omega t+\pi  \right)\)

\(\Rightarrow \ell =10+2,5.\left( 2{{\cos }^{2}}\omega t-1 \right)+5\cos \left( \omega t \right)\)

\(\Rightarrow \ell =5{{\cos }^{2}}\omega t+5\cos \omega t+7,5\)

Đặt \(x=cos\omega t\Rightarrow f\left( x \right)=5{{x}^{2}}+5x+7,5\)

Xét \(f'\left( x \right)=10x+5=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\Rightarrow {{f}_{\left( x \right)\min }}={{\ell }_{\min }}=6,25\left( cm \right)\)