Gọi \(S\) là tập giá trị của tham số \(m\) để giá trị nhỏ nhất của hàm số

Xét hàm số \(g\left( x \right)={{x}^{2}}-4x+m\) với \(x\in \left[ 1\,;\,4 \right]\)

Có \({g}'\left( x \right)=2x-4\)

\({g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=2\in \left( 1\,;\,4 \right)\)

Ta có: \(g\left( 1 \right)=m-3\), \(g\left( 2 \right)=m-4\), \(g\left( 4 \right)=m\)

Vậy \(\underset{\left[ 1\,;\,4 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=m\,,\,\,\underset{\left[ 1\,;\,4 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=m-4\) đồng thời \(f\left( x \right)=\left| g\left( x \right) \right|\).

+) Nếu \(\underset{\left[ 1\,;\,4 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=m-4>0\Leftrightarrow m>4\) thì \(\underset{\left[ 1\,;\,4 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=m-4\).

Vậy \(ycbt\Leftrightarrow m-4=6\Leftrightarrow m=10\) (thỏa mãn đk đang xét).

+) Nếu \(\underset{\left[ 1\,;\,4 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=m<0\) thì \(\underset{\left[ 1\,;\,4 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=-m\).

Vậy \(ycbt\Leftrightarrow -m=6\Leftrightarrow m=-6\) (thỏa mãn đk đang xét).

+) Nếu \(\underset{\left[ 1\,;\,4 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=m-4\le 0\le m=\underset{\left[ 1\,;\,4 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)\Leftrightarrow 0\le m\le 4\) thì \(\underset{\left[ 1\,;\,4 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=0\ne 6\)\(\Rightarrow \) loại.

Vậy có hai giá trị của \(m\) thỏa mãn, tổng của chúng bằng \(10+\left( -6 \right)=4\).