-
Câu hỏi:
Trong không gian Oxyz, cho các mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 2z + 1 = 0,\) \(\left( Q \right):2x + y + z - 1 = 0.\) Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và (S) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r. Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu (S) thỏa yêu cầu.
- A. \(r=\sqrt{2}\)
- B. \(r=\sqrt{\frac{5}{2}}\)
- C. \(r=\sqrt{3}\)
- D. \(r=\sqrt{\frac{7}{2}}\)
Đáp án đúng: B
Gọi I là tâm của (S) và r là bán kính của (S), ta có: \({R^2} = {d^2}\left( {I;\left( P \right)} \right) + {2^2} = {d^2}\left( {I;\left( Q \right)} \right) + {r^2}\)
Gọi I(x;0;0) thì ta có:
\(\begin{array}{l} {d^2}\left( {I;\left( P \right)} \right) + {2^2} = {d^2}\left( {I;\left( Q \right)} \right) + {r^2} \Rightarrow {\left( {\frac{{x + 1}}{{\sqrt 6 }}} \right)^2} - {\left( {\frac{{2x - 1}}{{\sqrt 6 }}} \right)^2} + {2^2} - {r^2} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x + 1 - 4{x^2} + 4x - 1}}{6} + {2^2} - {r^2} = 0 \end{array}\)
\(\Leftrightarrow \frac{{ - 3{x^2} + 6x}}{6} + {2^2} - {r^2} = 0\)\(\Leftrightarrow - \frac{1}{2}{x^2} + x + {2^2} - {r^2} = 0\,(*)\)
Yêu cầu bài toán trở thành tìm r > 0 để phương trình (*) có duy nhất một nghiệm.
Xét phương trình (*): \(\Delta = 1 + 2({2^2} - {r^2}) = 5 - 2{r^2}\)
\(\Delta = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt {\frac{5}{2}\,} \,\,(do\,\,r > 0).\)YOMEDIA
Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng
CÂU HỎI KHÁC VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN
- Cho A(1;2;0) B(3;-1;1) viết phương trình mặt cầu tâm A bán kính AB
- Cho Vt OI=2i+3j-2k và mặt phẳng (P) có phương trình x - 2y - 2z - 9 = 0
- Cho mặt cầu (S): x^2+y^2+z^2-2x-4y+4z-16=0 và đường thẳng d:x-1/1=y+3/2=z/2
- Tìm R để mặt (S) x^2+y^2+z^2-2x+4y-4z-m=0 có bán kính bằng 5
- Cho mặt cầu (S) đi qua hai điểm A(1;2;1) B(3;2;3) có tâm thuộc mặt phẳng (P): x - y - 3 = 0 đồng thời có bán kính nhỏ nhất
- Cho mặt cầu (S) {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 6 = 0, mặt phẳng (P) 2x + 2y + z + 2m = 0 tìm m để (P) tiếp xúc với (S)
- Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC)
- Viết phương trình mặt cầu tâm I (1; 2;3), bán kính AB với A(4; -3;7) và B(2;1;3)
- Viết phương trình của mặt cầu đi qua ba điểm A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P):x + y + z - 2 = 0
- Tìm tọa độ tâm I và bán kính R củamặt cầu (S): {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2z - 3 = 0