Cho mặt cầu (S) đi qua hai điểm A(1;2;1) B(3;2;3) có tâm thuộc mặt phẳng (P): x - y - 3 = 0 đồng thời có bán kính nhỏ nhất

Gọi I là tâm mặt cầu (S) \(I\left( {a,b,c} \right).\) 

Suy ra  \(a - b - 3 = 0 \Rightarrow a = b + 3 \Rightarrow I\left( {b + 3;b;c} \right)\)

\(I{A^2} = I{B^2} = {R^2} \Leftrightarrow {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {b^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\)

Rút gọn ta được  \(c=1-2b\)

\({R^2} = {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( { - 2b} \right)^2} = 4{b^2} + 8 \ge 8 \Rightarrow R \ge 2\sqrt 2\)

Suy ra: \(\min R = 2\sqrt 2\) khi  b = 0