Đường vuông góc chung của d1và d2 lần lượt cắt d1, d2 tại A và B. Tính diện tích S của tam giác OAB

Phương trình đường thẳng \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y =  - t}\end{array}}\\{z =  - 2 + t}\end{array}} \right.;{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 1 + t'}\\{y = 1 + 7t'}\\{z = 3 - t'}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(A\left( {1 + 2t; - t; - 2 + t} \right) \in {d_1};B\left( { - 1 + t';1 + 7t';3 - t'} \right) \in {d_2}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {t' - 2t - 2;7t' + t + 1;5 - t' - t} \right)\)

Vì AB là đoạn vuông góc chung của \({d_1};{d_2}\) nên

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}}  = 0}\\{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {t' - 2t - 2} \right).2 + \left( {7t' + t + 1} \right).\left( { - 1} \right) + \left( {5 - t' - t} \right).1 = 0}\\{\left( {t' - 2t - 2} \right).1 + \left( {7t' + t + 1} \right).7 + \left( {5 - t' - t} \right).\left( { - 1} \right) = 0}\end{array}} \right.\)  

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0}\\{t' = 0}\end{array} \Rightarrow A\left( {1;0; - 2} \right)} \right.;B\left( { - 1;1;3} \right)\)

Ta có: \(OA = \sqrt 5 ;OB = \sqrt {11} ;AB = \sqrt {30} ;p = \frac{{OA + OB + AB}}{2} = \frac{{\sqrt 5  + \sqrt {11}  + \sqrt {30} }}{2}\)

\( \Rightarrow S = \sqrt {p\left( {p - OA} \right).\left( {p - OB} \right).\left( {p - AB} \right)}  = \frac{{\sqrt 6 }}{2}.\)