Cho các điểm A(2;0;0);B(0;3;0);C(0;0;4). Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Tìm phương trình tham số của đường thẳng OH

\(A\left( {2;0;0} \right);B\left( {0;3;0} \right);C\left( {0;0; - 4} \right)\).

Khi đó phương trình mp (ABC) là: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{{ - 4}} = 1\)

Gọi \(H\left( {{x_H};{y_H};{z_H}} \right)\); \(\overrightarrow {AH}  = \left( {{x_H} - 2;{y_H};{z_H}} \right);\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 3; - 4} \right);\overrightarrow {BH}  = \left( {{x_H};{y_H} - 3;{z_H}} \right)\); \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2;0; - 4} \right)\)

Vì H là trực tâm của \(\Delta ABC\) nên: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0}\\{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{x_H} - 2} \right).0 + {y_H}.\left( { - 3} \right) + {z_H}\left( { - 4} \right) = 0}\\{{x_H}.\left( { - 2} \right) + \left( {{y_H} - 3} \right).0 + {z_H}.\left( { - 4} \right) = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{y_H} + 4{z_H} = 0}\\{2{x_H} + 4{z_H} = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_H} =  - \frac{4}{3}{z_H}}\\{{x_H} =  - 2{z_H}}\end{array}} \right.\)

Vì \(H \in \left( {ABC} \right) \Rightarrow \frac{{{x_H}}}{2} + \frac{{{y_H}}}{3} + \frac{{{z_H}}}{{ - 4}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 2{z_H}}}{2} + \frac{{\frac{{ - 4}}{3}{z_H}}}{3}\frac{{{z_H}}}{{ - 4}} = 1 \Leftrightarrow  - {z_H} - \frac{4}{9}{z_H} - \frac{{{z_H}}}{4} = 1\)

\( \Leftrightarrow {z_H} =  - \frac{{36}}{{61}} \Leftrightarrow {x_H} =  - 2{z_H} = \frac{{72}}{{61}};{y_H} =  - \frac{4}{3}{z_H} =  - \frac{4}{3}.\left( { - \frac{{36}}{{61}}} \right) = \frac{{48}}{{31}}\)

\( \Rightarrow H\left( {\frac{{72}}{{61}};\frac{{48}}{{31}}; - \frac{{36}}{{61}}} \right)\)

\(\overrightarrow {OH}  = \left( {\frac{{72}}{{61}};\frac{{48}}{{31}}; - \frac{{36}}{{61}}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{OH}}}  = \left( {6;4; - 3} \right)\)

Pt đường thẳng OH là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6t}\\{y = 4t}\end{array}}\\{z =  - 3t}\end{array}} \right.\)