Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) nhỏ hơn \(500\) sao cho ứng với mỗi \(y\) tồn tại ít nhất 9 số

Ta có bất phương trình \(\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}-y\le {{\log }_{2}}{{\left( 2y+1 \right)}^{\frac{1}{2}}}-{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\)

\(\Leftrightarrow 2{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}-2y\le {{\log }_{2}}\left( 2y+1 \right)-{{\log }_{2}}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}\).

\(\Leftrightarrow 2{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}\le {{\log }_{2}}\left( 2y+1 \right)+2y+1-1\)

\(\Leftrightarrow 2{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}\left[ 2{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}} \right]\le {{\log }_{2}}\left( 2y+1 \right)+\left( 2y+1 \right)\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right)=t+{{\log }_{2}}t\) với \(t\in \left( 0;+\infty  \right)\).

Ta có: \(f'\left( t \right)=1+\frac{1}{t\ln 2}>0\)\(\forall t>0\Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( 0;+\infty  \right)\).

Do đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow 2{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}\le 2y+1\) \(\Leftrightarrow 2{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+1\le 2y\).

Đặt \(g\left( x \right)=2{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+1\) với \(x\in \mathbb{R}\).

Ta có: \(g'\left( x \right)=8{{x}^{3}}+8x\). Cho \(g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0\).

Lập bảng biến thiên ta có:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(2y\ge g(4)={{2.4}^{4}}+{{4.4}^{2}}+1=577\)\(\Rightarrow y\ge \frac{577}{2}=288,5\).

Do 

\(\left\{ \begin{align} & y\in {{\mathbb{Z}}^{+}} \\ & y<500 \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow y\in \left\{ 289;290;...;499 \right\}\) \(\Rightarrow \) Có tất cả \(211\) giá trị nguyên thỏa mãn.