Cho hàm số \(y=\,f(x)=\,a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,\,\)\((a,\,b,\,c,\,d\,\in \mathbb{R},\,a\ne \,0)\)

Chọn D

Dễ thấy \(y=\,{f}'(x)\) là hàm số bậc hai và từ đồ thị hàm số \(y=\,{f}'(x)\) ta suy ra

\(\left\{ \begin{align} & {f}'(x)=\,k(x+1)(x-3) \\ & {f}'(0)=-3 \\ \end{align} \right.\\ \Rightarrow \,k=1\,\Rightarrow \,{f}'(x)=\,(x+1)(x-3)\)

Hay \({f}'(x)=\,{{x}^{2}}-2x-3\) suy ra \(f(x)=\,\int{{f}'(x)\,dx=\,\frac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-3x+C}\).

Lại có: đồ thị \((C)\) của hàm số \(y=\,f(x)\) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm nên hàm số \(y=\,f(x)\) đạt cực trị tại điểm \({{x}_{0}}<0\).

Mà \({f}'(x)\) chỉ có một nghiệm âm là \(-1\) suy ra \({{x}_{0}}=\,-1\). Khi đó ta có \(f(-1)=0\).

Suy ra \(-\frac{1}{3}-1+3+C=\,0\,\)\( \Leftrightarrow \,C=\,-\frac{5}{3}.\)

Vậy \(y=\,f(x)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-3x-\frac{5}{3}\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \((C)\) và trục hoành:

\(\frac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-3x-\frac{5}{3}=\,0\,\)\( \Leftrightarrow \,\frac{1}{3}.{{(x+1)}^{2}}(x-5)=0\,\).

\(\Leftrightarrow \,\left[ \begin{align} & x=-1 \\ & x=5 \\ \end{align} \right.\)

Khi đó diện tích \(S\) của hình phẳng tạo bởi đồ thị \((C)\) và trục hoành được tính bởi công thức

\(S=\,\int\limits_{-1}^{5}\left| f(x) \right|\,dx\)\( =\int\limits_{-1}^{5}\left| \frac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-3x-\frac{5}{3} \right|\,dx=\)36.