Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\)để trên tập số phức

Ta có \({\Delta }'={{m}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-m-2 \right)=m+2\).

TH1: Nếu \(\Delta >0\Leftrightarrow m>-2\) thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt \({{z}_{1}},\text{ }{{z}_{2}}\)

\(\left\{ \begin{align} & {{z}_{1}}+\text{ }{{z}_{2}}=-2m \\ & {{z}_{1}}\text{. }{{z}_{2}}={{m}^{2}}-m-2 \\ \end{align} \right.\)

Ta có: \(\left| {{z}_{1}} \right|\text{+}\left| \text{ }{{z}_{2}} \right|=2\sqrt{10}\)\( \Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}\text{+}{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}+2\left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{2}} \right|=40\)

\(\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}-m-2 \right)+2\left| {{m}^{2}}-m-2 \right|=40\)

\(\Leftrightarrow \left| {{m}^{2}}-m-2 \right|=18-{{m}^{2}}-m\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} {m^2} - m - 2 = 18 - {m^2} - m\\ {m^2} - m - 2 = - 18 + {m^2} + m \end{array} \right.\\ 18 - {m^2} - m \ge 0 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} {m^2} = 10\\ m = 8 \end{array} \right.\\ 18 - {m^2} - m \ge 0 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{10}\).

Kết hợp điều kiện suy ra \(m=\sqrt{10}\).

TH2: Nếu \(\Delta <0\Leftrightarrow m<-2\) thì phương trình có hai nghiệm phức phân biệt \({{z}_{1,2}}=-m\pm i\sqrt{-m-2}\) thoả mãn \(\left| {{z}_{1}} \right|\text{=}\left| \text{ }{{z}_{2}} \right|\)

Suy ra \(\left| {{z}_{1}} \right|\text{=}\left| \text{ }{{z}_{2}} \right|=\sqrt{10}\\\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( -m \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{-m-2} \right)}^{2}}}=\sqrt{10}\)

\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-12=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=4 \\ & m=-3 \\ \end{align} \right.\)

Kết hợp điều kiện thì \(m=-3\).

Vậy có \(1\) giá trị nguyên của \(m\) thoả mãn đầu bài.