Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để hàm số\(y=\left| {{x}^{5}}+2{{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+3x-20 \right|\) nghịch biến trên \(\left( -\infty ;-2 \right)\)?

Xét hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{5}}+2{{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+3x-20\)

\({f}'\left( x \right)=5{{x}^{4}}+8{{x}^{3}}-2mx+3\)

Ta thấy \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty \) nên hàm số \(y=\left| f\left( x \right) \right|\) nghịch biến trên \(\left( -\infty ;-2 \right)\) khi và chỉ khi hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( -\infty ;-2 \right)\) và hàm số không dương trên miền \(\left( -\infty ;-2 \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f'\left( x \right) \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\\ f\left( { - 2} \right) \le 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5{x^4} + 8{x^3} - 2mx + 3 \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\\ - 4m - 26 \le 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5{x^3} + 8{x^2} + \frac{3}{x} \le 2m{\rm{ }}\forall x \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\\ m \ge - \frac{{13}}{2} \end{array} \right. \end{array}\)

Xét hàm số \(g\left( x \right)=5{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+\frac{3}{x}\) trên \(\left( -\infty ;-2 \right)\)

\({g}'\left( x \right)=15{{x}^{2}}+16x-\frac{3}{{{x}^{2}}}={{\left( 2x+4 \right)}^{2}}+11{{x}^{2}}-16-\frac{3}{{{x}^{2}}}\)

Ta có \({{\left( 2x+4 \right)}^{2}}>0,\text{  }11{{x}^{2}}>44,\text{  }\frac{3}{{{x}^{2}}}<\frac{3}{4}\text{ }\forall x\in \left( -\infty ;-2 \right)\)

Suy ra \({g}'\left( x \right)>0+44-16-\frac{3}{4}\text{ 0 }\forall x\in \left( -\infty ;-2 \right)\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\) trên \(\left( -\infty ;-2 \right)\)

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(5{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+\frac{3}{x}\le 2m\text{  }\forall x\in \left( -\infty ;-2 \right)\)\( \Leftrightarrow -\frac{19}{2}\le 2m\)\( \Leftrightarrow m\ge -\frac{19}{4}.\)

Kết hợp với \(m\ge -\frac{13}{2}\) ta có \(m\ge -\frac{19}{4}.\)

Do đó \(m\in \left\{ -4;-3;-2;-1 \right\}\)

Suy ra có 4 giá trị nguyên âm thỏa mãn đề bài.