Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc C = 300 , AH ⊥ BC (H∈BC). Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD = HB. Từ C kẻ CE ⊥AD.

a) \(\Delta AHB\) có \(\widehat {AHB} = {90^0}\)

\(\Delta AHD\) có  \(\widehat {AHD} = {90^0}\)

Suy ra \(AH\bot BC\)

Xét hai tam giác vuông AHB và AHD có:

AH chung; HD = HB

Do đó: ∆AHB = ∆AHD (2 cạnh góc vuông)

⇒ AB = AD

⇒ ∆ ABD cân tại A      (1)

Mặt khác ∆ ABC có: ( \(\widehat A = 90^0\)), \(\widehat C = 30^0\)

\(\widehat A  + \widehat B + \widehat C = 180^0\) (tổng 3 góc của 1 tam giác)

\(90^0 + \widehat B  + 30^0 = 180^0\)

⇒  \(\widehat B  = 60^0\) (2)

Từ (1) và (2) ∆ABD là tam giác đều.

b)   ∆ABD là tam giác đều.

\(\widehat {BAD}= 60^0, \widehat {EAC} = 90^0 – 60^0 = 30^0\)   (\(\widehat A =90^0\))

Xét ∆ AHC (\(\widehat {AHC}= 90^0\) ) và ∆CEA (\(\widehat {CEA} = 90^0\))  có :

AC cạnh huyền chung

\(\widehat {EAC} = \widehat {HCA} = 30^0\)

Vậy : ∆AHC = ∆CEA( cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ AH = CE  (hai cạnh tương ứng )

c) ∆DAC cân tại D nên DA = DC

Mà: HC = EA   (∆ AHC = ∆ CEA)

Nên: DH = DE  suy ra ∆ DHE cân tại D .

Xét hai tam giác cân DAC và DEH có :

\(\widehat {ADC} = \widehat {EDC}\) (đ đ)   ⇒ \(\widehat {DEH}= \widehat {EAC}\)

Mà: \(\widehat {DHE}\) và \(\widehat {EAC}\) là cặp góc so le trong ⇒ HE//AC