Cho lăng trụ đều ABC.ABC có cạnh đáy bằng a, bạnh bên bằng \(\sqrt 2 a\). Gọi M là trung điểm AB.

Gọi N là trung điểm của BC ta có MN là đường trung bình của tam giác \(ABC \Rightarrow MN//AC\).

Ta có (A'C'M) chứa \(A'C'//AC \Rightarrow \left( {A'C'M} \right)\) cắt ABC theo giao tuyến là đường thẳng qua M và song song với $AC \Rightarrow \left( {A'C'M} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN\).

Vậy thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (A'C'M) là tứ giác A'C'NM. 

Ta có \(MN//AC//A'C' \Rightarrow A'C'NM\) là hình thang.

Xét \(\Delta A'AM\) và \(\Delta C'CN\) có:

\(\begin{array}{l}
A'A = C'C;\angle A'AM = \angle C'CM = {90^0};AM = CN = \frac{a}{2}\\
 \Rightarrow \Delta A'AM = \Delta C'CN\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow A'M = C'N
\end{array}\) 

Dễ dàng nhận thấy A'M và C'N  không song song nên A'C'NM là hình thang cân.

Có \(A'C' = a;MN = \frac{a}{2}\) 

Kẻ \(MH \bot A'C'\,\,\left( {H \in A'C'} \right);NK \bot A'C'\,\,\left( {K \in A'C'} \right)\) ta có MNKH là

hình chữ nhật \( \Rightarrow MN = HK = \frac{a}{2}\) 

\( \Rightarrow A'H = C'K = \frac{{A'C' - HK}}{2} = \frac{{a - \frac{a}{2}}}{2} = \frac{a}{4}\) 

Xét tam giác vuông A'AM có \(A'M = \sqrt {A'{A^2} + A{M^2}}  = \sqrt {2{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{3a}}{2}\)  

Xét tam giác vuông A'MH có \(MH = \sqrt {A'{M^2} - A'{H^2}}  = \frac{{9{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{{16}} = \frac{{a\sqrt {35} }}{4}\) 

Vậy \({S_{A'C'NM}} = \frac{1}{2}\left( {A'C' + MN} \right).MH = \frac{1}{2}\left( {a + \frac{a}{2}} \right).\frac{{a\sqrt {35} }}{4} = \frac{{3\sqrt {35} {a^2}}}{{16}}\)