Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2AB = 2a

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với \(B\left( {1;0;0} \right);D\left( {0;2;0} \right)\,\)và \(S\left( {0;0;h} \right)\)

suy ra \(M\left( {\frac{1}{2};0;\frac{h}{2}} \right);N\left( {0;1;\frac{h}{2}} \right)\)

Ta có:\(\left[ {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {ON} } \right] = \left( {\frac{{ - h}}{2};\frac{{ - h}}{2};\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow \left( {AMN} \right):2hx + hy - 2z = 0\)

Lại có \(d\left( {S;\left( {AMN} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2h} \right|}}{{\sqrt {5{h^2} + 4} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow h = 2\)

Do đó \(V = \frac{1}{3}.1.2.1 = \frac{4}{3}.\)