Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, \(AB = a,{\rm{ }}AC = 2a,{\rm{ }}SA\) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30o. Gọi M là một điểm trên cạnh AB sao cho \(BM = 3MA.\) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCM) là

Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, \(AB = a,{\rm{ }}AC = 2a,{\rm{ }}SA\) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30^o. Gọi M là một điểm trên cạnh AB sao cho \(BM = 3MA.\) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCM) là
- A. \(\frac{{\sqrt {34} a}}{{51}}\)
- B. \(\frac{{2\sqrt {34} a}}{{51}}\)
- C. \(\frac{{3\sqrt {34} a}}{{51}}\)
- D. \(\frac{{4\sqrt {34} a}}{{51}}\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: B

Đặc điểm của hình: SC tạo với mặt phẳng (SAB) góc \(\widehat {CSB} = {30^ \circ }.\)

\(\begin{array}{l} BC = \sqrt 3 a\\ SB = BC.\tan {30^0} = a\\ MC = \sqrt {{{\left( {\frac{{3a}}{4}} \right)}^2} + 3{a^2}} = \frac{{\sqrt {57} }}{4}a\\ MA = \frac{a}{4};AC = 2a;AS = 2\sqrt 2 a\\ AK = \frac{{2{S_{AMC}}}}{{MC}} = \frac{{\sqrt {19} }}{{19}}a \end{array}\)

Xác định khoảng cách: \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\)

Tính \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{A{S^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt {19} }}{{19}}a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2\sqrt 2 a} \right)}^2}}} = \frac{{153}}{{8{a^2}}}\)

Vậy \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{{2\sqrt {34} }}{{51}}\)

Lưu ý: Đây là câu hỏi tự luận.

ATNETWORK