Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc \(\widehat {ABC} = {60^0}\). Các cạnh SA, SB, SC đều bằng \(a\frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Gọi \(\varphi \) là góc của hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD). Giá trị \(\tan \varphi \) bằng bao nhiêu?

Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc \(\widehat {ABC} = {60^0}\). Các cạnh SA, SB, SC đều bằng \(a\frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Gọi \(\varphi \) là góc của hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD). Giá trị \(\tan \varphi \) bằng bao nhiêu?
- A. \(2\sqrt 5 \)
- B. \(3\sqrt 5 \)
- C. \(5\sqrt 3 \)
- D. \(\sqrt 3 \)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: B

Do AB = BC và \(\widehat {ABC} = {60^0}\) nên tam giác ABC đều.

Gọi H là hình chiếu của A lên (ABCD).

Do SA = SB = SC nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có :

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left( {SAC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\\ SO \bot AC,HO \bot AC \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {\left( {SAC} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SO,HO} \right) = \widehat {SOH} \end{array}\)

Mặt khác

\(HO = \frac{1}{3}BO = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

\(SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{3}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{{2\sqrt 3 }}\)

\(\tan \varphi =\tan \frac {SH}{OH}=3 \sqrt5\)

Lưu ý: Đây là câu hỏi tự luận.

ATNETWORK