Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy

Vì N là trung điểm của SC \( \Rightarrow \frac{{d\left( {N;\left( {ABCD} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \frac{1}{2}\)

Ta có \(\Delta \,AMI \sim \Delta \,CBI \Rightarrow \frac{{AM}}{{BC}} = \frac{{AI}}{{CI}} = \frac{{MI}}{{BI}} \Rightarrow \frac{{d\left( {I;\left( {AB} \right)} \right)}}{{d\left( {C;\left( {AB} \right)} \right)}} = \frac{1}{3}\)

Suy ra \(\frac{{{S_{\Delta ABI}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta ABI}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{6}\)

Vậy \(\frac{{{V_{ANIB}}}}{{{S_{S.ABCD}}}} = \frac{{d\left( {N;\left( {ABCD} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right)}}.\frac{{{S_{\Delta ABI}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{1}{{12}}.\)