Cho hình chóp \(S.ABC\) có góc \(\widehat{ASB}=\widehat{CSB}={{60}^{0}}\), \(\widehat{ASC}={{90}^{0}}\), \(SA=a,\,\,SB=SC=2a\). Khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng:

Theo đề bài, ta có: các tam giác \(SAB,\,\,SBC\) có:  \(\widehat{ASB}=\widehat{CSB}={{60}^{0}}\) và \(SA'=\,\,SB=SC=2a\)

\(\Rightarrow \Delta SAB,\,\,\Delta SBC\) đều, cạnh bằng 2a.

\(\Delta SA'C\) vuông cân tại S \(\Rightarrow A'C=SA'.\sqrt{2}=2\sqrt{2}a\)

\(\Rightarrow \Delta A'BC\) vuông cân tại B

Gọi N là trung điểm của A’C \(\Rightarrow SN\bot (A'BC)\)

Gọi M là trung điểm của BC \(\Rightarrow MN//A'B\). Mà \(A'B\bot BC\Rightarrow MN\bot BC\Rightarrow BC\bot (SMN)\)

Ta có: \(A'S\cap (SBC)=S,\,\,A'S=2AS\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=\frac{1}{2}d\left( A';\left( SBC \right) \right)\)

Mặt khác: \(A'C\cap (SBC)=C,\,\,A'C=2NC\Rightarrow d\left( A';\left( SBC \right) \right)=2d\left( N;\left( SBC \right) \right)\)

\(\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=d\left( N;\left( SBC \right) \right)\)

Trong \(\left( SMN \right)\), kẻ \(NH\bot SM\Rightarrow SM\bot (SBC)\Rightarrow d\left( N;(SBC) \right)=NH\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=NH\)

+) Tính NH:

Ta có: \(MN=\frac{1}{2}A'B=\frac{1}{2}.2a=a\)(vì \(\Delta SA'B\) đều, cạnh bằng 2a), \(SN=\frac{1}{2}A'C=\frac{1}{2}.2\sqrt{2}a=\sqrt{2}a\) (vì \(\Delta SA'C\) vuông tại S)

\(\Delta SMN\) vuông tại N, \(NH\bot SM\Rightarrow \frac{1}{N{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{N}^{2}}}+\frac{1}{M{{N}^{2}}}=\frac{1}{2{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{3}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow NH=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

\(\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

Chọn: B