YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Cho hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} - 3{x^2}\) có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt \(M\left( {{x_1};{y_1}} \right),N\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) (M, N khác A) thỏa mãn \({y_1} - {y_2} = 5\left( {{x_1} - {x_2}} \right).\)

    • A. 1
    • B. 2
    • C. 0
    • D. 3

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: B

    \(y’=x^3-6x\)

    Gọi \(A\left( {{x_0};\frac{1}{4}{x_0}^4 - 3{x_0}^2} \right)\) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến tại A. Phương trình tiếp tuyến tại A là đường thẳng (d) có phương trình: \(y = \left( {x_0^3 - 6{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{1}{4}x_0^4 - 3x_0^2\) 

    Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) là:

    \(\begin{array}{l}
    \left( {x_0^3 - 6{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{1}{4}x_0^4 - 3x_0^2 = \frac{1}{4}{x^4} - 3{x^2}\\
     \Leftrightarrow {\left( {x - {x_0}} \right)^2}\left( {{x^2} + 2{x_0}x + 3x_0^2 - 12} \right) = 0\\
     \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x - {x_0} = 0\\
    {x^2} + 2{x_0}x + 3{x_0} - 12 = 0\left( 2 \right)
    \end{array} \right.
    \end{array}\) 

    (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khác A khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác \(x_0\)

    \(\left[ \begin{array}{l}
    {x_0} \ne  \pm \sqrt 2 \\
     - \sqrt 6  < {x_0} < \sqrt 6 
    \end{array} \right.\left( 3 \right)\) 

    Khi đó, phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) và (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt trong đó:

    \(\begin{array}{l}
    {y_1} = \left( {x_0^3 - 6{x_0}} \right)\left( {{x_1} - {x_0}} \right) + \frac{1}{4}x_0^4 - 3x_0^3;{y_2} = \left( {x_0^3 - 6{x_0}} \right)\left( {{x_2} - {x_0}} \right) + \frac{1}{4}x_0^4 - 3x_0^3\\
     \Rightarrow {y_1} - {y_2} = \left( {x_0^3 - 6{x_0}} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right)
    \end{array}\) 

    Từ giả thiết ta suy ra:

    \(\begin{array}{l}
    \left( {x_0^3 - 6{x_0}} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right) = 5\left( {{x_1} - {x_2}} \right) \Leftrightarrow x_0^3 - 6{x_0} = 5\left( {{x_1} \ne {x_2}} \right)\\
     \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    {x_0} =  - 1\\
    {x_0} = \frac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2}\\
    {x_0} = \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}
    \end{array} \right.
    \end{array}\) 

    Kết hợp với điều kiện (3) có 2 giá trị \(x_0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(\left[ \begin{array}{l}
    {x_0} =  - 1\\
    {x_0} = \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}
    \end{array} \right.\) 

    ADSENSE

Mã câu hỏi: 55628

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF