Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ dưới đây Gọi \(m,\,n\) là số điểm cực đại, số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right)=\left| {{f}^{3}}\left( x \right)-3f\left( x \right) \right|\). Đặt \(T={{n}^{m}}\) hãy chọn mệnh đề đúng?

Đặt \(h\left( x \right) = {f^3}\left( x \right) - 3f\left( x \right)\).

Ta có: \(h'\left( x \right) = 3{f^2}\left( x \right)f'\left( x \right) - 3f'\left( x \right)\).

Suy ra \(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f'\left( x \right) = 0\\ f\left( x \right) = 1\\ f\left( x \right) = - 1 \end{array} \right.\).

Dựa vào đồ thị, ta có

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = a\,\left( {0 < a < 1} \right) \end{array} \right.\).

\(f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow x = b\,\left( { - 2 < b <  - 1} \right)\)

\(f\left( x \right) = - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\) (Lưu ý:  là nghiệm kép)

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = h\left( x \right)\).

Mặt khác \(h\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( x \right) = 0\\ f\left( x \right) = \sqrt 3 \\ f\left( x \right) = - \sqrt 3 \end{array} \right.\)

Dựa vào đồ thị ta thấy:

\(f\left( x \right)=0\) có 3 nghiệm phân biệt không trùng với các điểm cực trị của hàm số \(y=h\left( x \right)\);

\(f\left( x \right)=\sqrt{3}\) có 1 nghiệm không trùng với các điểm nghiệm trên.

\(f\left( x \right)=-\sqrt{3}\) có 1 nghiệm không trùng với các điểm nghiệm trên.

Vậy ta có tổng số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|\) là 9 điểm, trong đó có 4 điểm cực đại và 5 điểm cực tiểu. Hay \(m=4;\,n=5\), suy ra \(T={{n}^{m}}={{5}^{4}}=625\in \left( 500\,;\,1000 \right)\).