Cho hệ bất phương trình (m là tham số). Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm. Tính tổng các phần tử của S.

Điều kiện xác định: \(x\ge -1\).

Ta có: \({{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}-{{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2020x-2020\le 0\Leftrightarrow {{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}+2020x\le {{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2020\)

\(\Leftrightarrow {{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}+1010\left( 2x+\sqrt{x+1} \right)\le {{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+1010\left( 2+\sqrt{x+1} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{3}^{t}}+1010t\) trên \(\mathbb{R}\).

Dễ dàng nhận thấy \({f}'\left( t \right)>0,\,\forall t\in \mathbb{R}\), suy ra hàm số \(f\left( t \right)={{3}^{t}}+1010t\) là hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó \(f\left( 2x+\sqrt{x+1} \right)\le f\left( 2+\sqrt{x+1} \right)\Leftrightarrow 2x+\sqrt{x+1}\le 2+\sqrt{x+1}\Leftrightarrow -1\le x\le 1\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}-{{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2020x-2020\le 0\) là \(\left[ -1\,;\,1 \right]\).

Hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình \({{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x-{{m}^{2}}+3\ge 0\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ -1\,;\,1 \right]\). Gọi \(g\left( x,m \right)={{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x-{{m}^{2}}+3\).

TH1: \(\Delta ={{\left( m+2 \right)}^{2}}+4{{m}^{2}}-12\le 0\Leftrightarrow 5{{m}^{2}}+4m-8\le 0\Leftrightarrow \frac{-2-2\sqrt{11}}{5}\le m\le \frac{-2+2\sqrt{11}}{5}\), khi đó \(g\left( x,m \right)\ge 0\,,\,\forall x\in \mathbb{R}\) (thỏa điều kiện đề bài).

TH2: \(\Delta ={{\left( m+2 \right)}^{2}}+4{{m}^{2}}-12>0\left[ \begin{align} & m>\frac{-2+2\sqrt{11}}{5} \\ & m<\frac{-2-2\sqrt{11}}{5} \\ \end{align} \right.\), khi đó \(g\left( x,\,m \right)=0\) có hai nghiệm \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}\).

Để \(g\left( x,\,m \right)\ge 0\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ -1\,;\,1 \right]\) khi \(\left[ \begin{align} & {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 1 \\ & -1\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \\ \end{align} \right.\).

KN1: Xét \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 1\), tức là \(\left\{ \begin{align} & g\left( 1,m \right)\ge 0 \\ & \frac{m+2}{2}<1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{align} & -{{m}^{2}}-m+2\ge 0 \\ & m<0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow -2\le m<0\).

KN2: Xét \(-1\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\), tức là \(\left\{ \begin{align} & g\left( -1,m \right)\ge 0 \\ & \frac{m+2}{2}>-1 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & -{{m}^{2}}+m+6\ge 0 \\ & m>-4 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow -2\le m\le 3\).

Từ các trường hợp (1) và (2) vậy ta có \(m\in \left[ -2\,;\,3 \right]\) thì hệ bất phương trình trên có nghiệm.

Vì \(m\in \mathbb{Z}\) nên tập hợp \(S=\left\{ -2\,;\,-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3 \right\}\).

Vậy tổng các phần tử trong tập hợp S bằng 3.