Giả sử z là số phức thỏa mãn \(\left| iz-2-i \right|=3\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(2\left| z-4-i \right|+\left| z+5+8i \right|\) có dạng \(\sqrt{\overline{abc}}\). Khi đó a+b+c bằng

Ta có: \(\left| iz-2-i \right|=3\Leftrightarrow \left| i \right|.\left| z-\frac{2+i}{i} \right|=3\Leftrightarrow \left| z-1+2i \right|=3\left( 1 \right)\)

Gọi \(z=a+bi\) với \(a,b\in \mathbb{R}\).

Từ (1), ta có \({{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}=9\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=1+3\sin t \\ & b=-2+3\cos t \\ \end{align} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)\).

Suy ra \(z=\left( 1+3\sin t \right)+\left( -2+3\cos t \right)i\).

Đặt \(P=2\left| z-4-i \right|+\left| z+5+8i \right|\). Khi đó:

\(\begin{align} & P=2\sqrt{{{\left( -3+3\sin t \right)}^{2}}+{{\left( -3+3\cos t \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 6+3\sin t \right)}^{2}}+{{\left( 6+3\cos t \right)}^{2}}} \\ & \,\,\,\,\,=6\sqrt{3-2\sin t-2\cos t}+3\sqrt{9+4\sin t+4\cos t}=6\sqrt{3-2\sqrt{2}\sin \left( t+\frac{\pi }{4} \right)}+3\sqrt{9+4\sqrt{2}\sin \left( t+\frac{\pi }{4} \right)} \\ \end{align}\)

Đặt \(u=\sin \left( t+\frac{\pi }{4} \right), u\in \left[ -1;1 \right]\).

Xét hàm số \(f\left( u \right)=6\sqrt{3-2\sqrt{2}u}+3\sqrt{9+4\sqrt{2}u}\) trên đoạn \(\left[ -1;1 \right]\)

\(f'\left( u \right)=\frac{-6\sqrt{2}}{\sqrt{3-2\sqrt{2}u}}+\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{9+4\sqrt{2}u}}\).

Cho \(f'\left( u \right)=0\Rightarrow u=\frac{-1}{\sqrt{2}}\in \left[ -1;1 \right]\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(f\left( u \right)\):

Do vậy giá trị lớn nhất của là \(9\sqrt 5 \). Dấu bằng xảy ra khi 

\(u = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \sin \left( {t + \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ t = \pi + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - 2 - 2i\\ z = 1 - 5i \end{array} \right.\)