Cho hai số thực \(x;y\) thỏa mãn \(0 < x < 1 < y\). Trong các bất đẳng thức sau, có bao nhiêu bất đẳng thức đúng?

+ Xét \(\left( 1 \right)\,{\log _x}\left( {1 + y} \right) > {\log _{\dfrac{1}{y}}}x \Leftrightarrow \,{\log _x}\left( {1 + y} \right) > {\log _{{y^{ - 1}}}}x \Leftrightarrow {\log _x}\left( {1 + y} \right) >  - {\log _y}x \Leftrightarrow {\log _x}\left( {1 + y} \right) + {\log _y}x > 0\)

Ta có \(0 < x < 1 < y \Rightarrow y + 1 > 1 \Rightarrow {\log _x}\left( {y + 1} \right) < {\log _x}1 = 0 \Rightarrow {\log _x}\left( {y + 1} \right) < 0\)

Lại có vì \(0 < x < 1 < y \Rightarrow {\log _y}x < 0\)  nên \({\log _x}\left( {1 + y} \right) + {\log _y}x < 0 \Rightarrow \left( 1 \right)\) sai

+ Xét \(\left( 2 \right)\,{\log _y}\left( {1 + x} \right) > {\log _x}y\) ta thấy \(0 < x < 1 < y \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _y}\left( {1 + x} \right) > 0\\{\log _x}y < 0\end{array} \right. \Rightarrow {\log _y}\left( {1 + x} \right) > {\log _x}y\) nên \(\left( 2 \right)\) đúng.

+ Xét  \(\left( 3 \right)\,{\log _y}x < {\log _{1 + x}}\left( {1 + y} \right)\) ta thấy \(0 < x < 1 < y \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _{1 + x}}\left( {1 + y} \right) > {\log _{1 + x}}1 = 0\\{\log _y}x < 0\end{array} \right. \Rightarrow {\log _y}x < {\log _{1 + x}}\left( {1 + y} \right)\) nên \(\left( 3 \right)\) đúng. Vậy có hai bất đẳng thức đúng.

Chọn D.