Cho đường tròn tâm O đường kính AB, C là điểm nằm trên đường tròn (C khác A và B). D là điểm thuộc cung nhỏ BC.

a) Ta có: \(\widehat {ACB} = {90^0}\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\widehat {ECF} + \widehat {ACB} = {180^0}\) (Hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {ECF} = {180^0} - \widehat {ACB} = {180^0} - {90^0} = {90^0}\)

Tương tự ta có: \(\widehat {EDF} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {ECF} + \widehat {EDF} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

=> Tứ giác CFDE nội tiếp (Vì tổng hai góc đối nhau bằng 180⁰) 

b) Theo kết quả câu a, tứ giác CFDE nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {BFD} = \widehat {CED}\) (Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Xét \(\Delta BDF\) và \(\Delta BCE\) có: \(\left. \begin{array}{l}
\widehat B{\rm{ chung}}\\
\widehat {BFD} = \widehat {CED}{\rm{ (cmt)}}
\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta BDF \sim \Delta BCE\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{BF}}{{BE}} = \frac{{BD}}{{BC}} \Rightarrow BF.BC = BD.BE\) (dpcm)

c) Theo câu a, ta có \(\Delta ECF\) và \(\Delta EDF\) là các tam giác vuông. Mà I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CFDE nên I là trung điểm của EF=>CI là đường trung tuyến của \(\Delta ECF \Rightarrow CI = \frac{1}{2}{\rm{EF}} \Rightarrow IC = IE \Rightarrow \Delta CIE\) cân tại I \( \Rightarrow \widehat {ECI} = \widehat {IEC}\) hay \(\widehat {ECI} = \widehat {FEC}\)           (1)

Tứ giác CFDE nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {FEC} = \widehat {FDC}\) (Cùng chắn cung FC) hay \( \Rightarrow \widehat {FEC} = \widehat {ADC}\)    (2)

Tứ giác ACDB nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {ABC}\) (Cùng chắn cung AC)       (3)

Tam giác BOC có OB = OC \( \Rightarrow \Delta BOC\) cân tại O \( \Rightarrow \widehat {OBC} = \widehat {OCB}\) hay \(\widehat {ABC} = \widehat {OCB}\)    (4)

Từ (1),(2),(3) và (4) suy ra \(\widehat {OCB} = \widehat {ECI}\). Mà \(\widehat {ECI} + \widehat {FCI} = {90^0} \Rightarrow \widehat {OCB} + \widehat {FCI} = {90^0}\) suy ra CI là tiếp tuyến của đường tròn (O)