Cho đường tròn (O) có AB là dây cung không đi qua tâm và I là trung điểm của dây AB.

a) 

Vì MD là tiếp tuyến tại D của (O) nên \(\widehat {ODM} = {90^0}\)

(O) có dây AB không đi qua tâm và I là trung điểm của dây AB

\( \Rightarrow OI \bot AB \Rightarrow \widehat {OIM} = {90^0}\)

Tứ giác OIMD có:

\(\widehat {ODM} + \widehat {OIM} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

=>Tứ giác OIMD nội tiếp được đường tròn.

b) 

(O) có:\(\widehat {MDA}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung AD

            \(\widehat {MBD}\) là góc nội tiếp chắn cung AD

\( \Rightarrow \widehat {MDA} = \widehat {MBD}\)

\(\Delta \)MDA và \(\Delta \)MBD có: \(\widehat {DMB}\) chung, \(\widehat {MDA} = \widehat {MBD}\)

\( \Rightarrow \Delta MDA \sim \Delta MBD\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{MD}}{{MB}} = \frac{{MA}}{{MD}} \Rightarrow M{D^2} = MA.MB\)

c) Vì \(\widehat {MDE}\) là góc nội tiếp chắn cung DN nên \(\widehat {MDE} = \frac{1}{2}{\rm{sdDN}}\)

(O) có ON \( \bot \) dây AB => cung NA = cung NB (liên hệ giữa cung và dây)

Vì \(\widehat {MED}\) là góc có đỉnh ở bên trong (O) nên:

Nhưng MC= MD (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

=> MC = ME => tam giác MCE cân tại M

d) Gọi H là giao điểm của OM và CD

Ta có: OC = OD và MC = MD

=> OM là đường trung trực của CD

\( \Rightarrow OM \bot CD\) tại H

\(\Delta \)OIM và \(\Delta \)OHF có: \(\widehat {MOF}\) chung, \(\widehat {OIM} = \widehat {OHF} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{OM}}{{OF}} \Rightarrow OI.OF = OH.OM\)

\(\Delta \)ODM vuông tại D, đường cao DH

\( \Rightarrow OH.OM = O{D^2}\) và \(\frac{1}{{O{D^2}}} + \frac{1}{{M{D^2}}} = \frac{1}{{D{H^2}}}\)

Mà \(OI.OF = OH.OM = O{D^2}\), MD = ME, DH = \(\frac{1}{2}\)CD

\( \Rightarrow \frac{1}{{OI.OF}} + \frac{1}{{M{E^2}}} = \frac{4}{{C{D^2}}}\) (đpcm)