Cho các số không âm \(a,\ b,\ c\) thỏa mãn \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(S=\frac{a}{2+bc}+\frac{b}{2+ac}+\frac{c}{2+ab}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có:

\(\begin{array}{l}a + b + c = a.1 + \left( {b + c} \right).1 \le \frac{{{a^2} + 1}}{2} + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2} + 1}}{2}\\ = \frac{{{a^2} + 1 + {b^2} + 2bc + {c^2} + 1}}{2} = \frac{{2bc + 4}}{2} = bc + 2\,\,\,\left( {do\,\,\,{a^2} + {b^2} + {c^2} = 2} \right)\\ \Rightarrow \frac{a}{{bc + 2}} \le \frac{a}{{a + b + c}}.\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{b}{{ac + 2}} \le \frac{b}{{a + b + c}}\\\frac{c}{{ab + 2}} \le \frac{c}{{a + b + c}}\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow S \le \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b + c = 1\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\c = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = 1\\c = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Vậy \(Max\,S = 1\) khi \(\left( {a;\,\,b;\,\,c} \right) = \left\{ {\left( {1;\,1;\,0} \right);\,\,\left( {1;\,0;\,1} \right)} \right\}.\)

Chọn C