Trong bài học hôm nay chúng ta xét bài toán Tìm tham số để hàm số đạt cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước.

VD1: Tìm m để hàm số \(f(x)=(m+2)x^3+3x^2+mx-5\)
a) Có cực trị
b) Có cực đại, cực tiểu
Giải
TXĐ: D= R
\(f'(x)=3(m+2)x^2+6x+m\)
TH 1: \(m+2=0\Leftrightarrow m=-2\)
\(f'(x)=6x-2\)
\(f'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại x_CT = 1/3, m = -2 (thỏa mãn)
TH2: \(m+2\neq 0\)
Hàm số có cực trị khi f'(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow 3(m+2)x^2+6x+m=0\)
\(\Delta '=9-3m(m+2)>0\)
\(\Leftrightarrow 3-m(m+2)>0\)
\(\Leftrightarrow -m^2-2m+3>0\)
\(\Leftrightarrow -3< m< 1\)
KL: \(-3< m< 1\)
b) Hàm số có cực đại, cực tiểu khi 
\(\left\{\begin{matrix} 3(m+2)\neq 0\\ \Delta '>0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq -2\\ -m^2-2m+3>0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq -2\\ -3 Vậy \((-3;-2)\cup (-2;1)\)
Chú ý: f(x) = ax³+bx²+cx+d (a≠0)
Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ f’(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt f’(x) =0 có nghiệm kép, hàm số không có cực trị.
VD2: Tìm m để hàm số \(f(x)=x^3-3x^2+3mx+3m+4\) không có cực trị
Giải
TXĐ: D = R
\(f'(x)=3x^2-6x+3m\)
Hàm số không có cực trị khi f'(x) = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 
\(\Delta '\leq 0\Leftrightarrow 9-9m\leq 0\)
\(\Leftrightarrow 1-m\leq 0\)
\(\Leftrightarrow m\geq 1\)
Vậy \(m\geq 1\) thì hàm số không có cực trị

Chú ý:
Hàm số f(x) = ax³+bx²+cx+d (a≠0) không có cực trị khi \(\Delta _{f'(x)}\leq 0\)
VD3: Tìm m để hàm số \(f(x)=mx^4+(m^2-9)x^2+10\) có 3 cực trị
Giải
TXĐ: D = R
\(f'(x)=4mx^3+2(m^2-9)x\)
Để hàm số có 3 cực trị thì f’(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt
\(2x[2mx^2+m^2-9]=0\) có 3 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=0\\ 2mx^2=9-m^2 \end{matrix}\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
Khi \(2m(9-m^2)>0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} m<-3\\ 0 Vậy \(\bigg \lbrack\begin{matrix} m<-3\\ 0
VD4: Tìm m để hàm số \(f(x)=x^3-3mx^2+(m^2-1)x+2\) đạt cực đại tại x = 2
Giải
TXĐ: D = R
\(f'(x)=3x^2-6mx+m^2-1\)
ĐK cần: Hàm số đạt cực đại tại x = 2 thì
\(f'(2)=0\Leftrightarrow 12-12m+m^2-1=0\)
\(\Leftrightarrow m^2-12m+11=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} m=1\\ m=11 \end{matrix}\)
ĐK đủ: m=1
\(f'(x)=3x^2-6x\)
\(f'(x)=0\Leftrightarrow 3x(x-2)=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=0\\ x=2 \end{matrix}\)
\(f''(x)=6x-6\)
\(f''(0)=-6<0\Rightarrow x_{CD}=0\)
\(f''(2)=6>0\Rightarrow x_{CT}=2\)
m = 1 không thỏa mãn
m = 11
\(f'(x)=3x^2-66x+120\)
\(f''(x)=6x-66\)
\(f''(2)=12-66=-54<0\)
\(\Rightarrow x_{CD}=2\)
Vậy m =11 (thỏa mãn)
VD5: Tìm m để đường thẳng đi qua các cực trị của đồ tị hàm số \(f(x)=x^3-3x^2+3mx+3m+4\) đi qua A(1;4)
Giải
TXĐ: D = R
\(f'(x)=3x^2-6x+3m\)
Hàm số có cực trị khi f'(x) = 0 có 2 nghiệm
\(\Delta '>0\Leftrightarrow 9-9m>0\)
\(\Leftrightarrow m<1\)
\(f(x)=(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}) \ f'(x)+(2m-2)x+4m+4\)
f(x _{cực trị})= (2m-2)x _{cực trị}  +4m+4
phương trình đường thẳng đi qua các cực trị của đồ thị hàm số là 
\(y=(2m-2)x+4m+4 \ \ (\Delta )\)
\(A\in \Delta \Leftrightarrow 4=(2m-2)+4m+4\)
\(\Leftrightarrow 6m+2=4\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{1}{3}\) (thỏa mãn)