I. Lý thuyết 
- Nếu f(x) đồng biến (nghịch biến) trên (a;b) thì pt f(x) = 0 có tối đa 1 nghiệm trên (a;b) (Nhẩm nghiệm, chứng minh nghiệm duy nhất)
- Nếu f(x) đồng biến (nghịch biến) trên (a;b), \(u,v\in (a;b),f(u)=f(v)\Leftrightarrow u=v\)
- Nếu f(x) = 0 có tối đa n nghiệm trên (a;b) thì f(x) = 0 có tối đa n +1 nghiệm trên (a;b)
VD1: Giải pt \(\sqrt{x^2+15}=3x-2+\sqrt{x^2+8}\)
Giải
PT \(\Leftrightarrow \sqrt{x^2+15}-\sqrt{x^2+8}-3x+2=0\)
TH1: x>0
Xét \(f(x)=\sqrt{x^2-15}-\sqrt{x^2+8}-3x+2\) trên 
\(f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+15}}-\frac{x}{\sqrt{x^2+8}}-3\)
\(=x(\frac{1}{\sqrt{x^2+15}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+8}})-3<0\)
​Hàm số nghịch biến trên \((0;+\infty )\)
x = 1 là nghiệm 
x > 1 do hàm số nghịch biến trên \((0;+\infty )\) nên \(f(x)
0 < x < 1 do hàm số nghịch biến trên \((0;+\infty )\) nên \(f(x)>f(1)=0\)
x = 1 là nghiệm duy nhất trên \((0;+\infty )\)
\(\sqrt{x^2+15}>\sqrt{x^2+8}\)
\(0>3x-2\)
\(\Rightarrow\) VT > VB
\(x\leq 0\) không t/m
Kết luận: Tập nghiệm S={1}
VD2: Giải phương trình \(\sqrt{x}+\sqrt{x+3}+\sqrt{x+8}+\sqrt{x+15}=10\)
Giải
ĐK: \(x\geq 0\)
Xét \(f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{x+3}+\sqrt{x+8}+\sqrt{x+15}\) trên \([0;+\infty )\)
\(\Rightarrow\)​ f(x) đồng biến trên \([0;+\infty )\)
\(f(1)=10\Rightarrow x=1\) là nghiệm
\(x>1\Rightarrow f(x)>f(1)=10\).Vậy \(\forall x> 1\) không thỏa mãn
0 < x < 1 \(\Rightarrow f(x) Vậy tập nghiệm pt là {1}
VD3: Giải pt \(8x^3+2x=(x+2)\sqrt{x+1}\)
Giải

ĐK: \(x+1\geq 0\Leftrightarrow x\geq -1\)

\(pt\Leftrightarrow 8x^3+2x=(x+1)\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}\)
Xét hàm số \(f(t)=t^3+t\)  trên R
\(f'(t)=3t^2+1>0\)
\(\Rightarrow f(1)\) đồng biến trên R
\((*)\Leftrightarrow f(2x)=f(\sqrt{x+1})\)

\(\Leftrightarrow 2x=\sqrt{x+1}\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x\geq 0\\ 4x^2=x+1 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ 4x^2-x-1=0 \end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm là \(\left \{ x=\frac{1+\sqrt{17}}{8} \right \}\)
VD4: Giải pt \(3^x+5^x=2+6x\)
Giải 
\(PT\Leftrightarrow 3^x+5^x-6x-2=0\)
Xét \(f(x)=3^x+5^x-6x-2\) trên R
\(f'(x)=3^xln3+5^xln5-6\)
\(f''(x)=3^xln^23+5^xln^25>0\)
\(\Rightarrow f'(x)=0\) có tối đa 1 nghiệm
\(\Rightarrow f(x)=0\) có tối đa 2 nghiệm
x = 0, x = 1 là các nghiệm
Vậy tập nghiệm phương trình {0;1}
VD5: Giải phương trình \((2x+1)(2+\sqrt{4x^2+4x+4}+3x(2+\sqrt{9x^2+3})=0\)
Giải
PT \(\Leftrightarrow (2x+1)(2+\sqrt{(2x+1)^2+3})=-3x(2+\sqrt{(-3x)^2+3})\)
Xét \(f(t)=t(2+\sqrt{t^2+3})\) trên R
\(f'(t)=2+\sqrt{t^2+3}+t.\frac{t}{\sqrt{t^2+3}}\)
\(=2+\sqrt{t^2+3}+\frac{1^2}{\sqrt{t^2+3}}>0\)
* f(x) đồng biến trên R
* \(pt\Leftrightarrow f(2x+1)=f(-3x)\)
\(\Leftrightarrow 2x+1=-3x\)
\(\Leftrightarrow 5x=-1\)
\(\Leftrightarrow x=-\frac{1}{5}\)
Vậy tập nghiệm pt là \(\left \{ x=-\frac{1}{5} \right \}\)