I. Lý thuyết
\(A(x_A,y_A,z_A)\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}=(x_A;y_A;z_A)\)
\(B(x_B,y_B,z_B)\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)\)
\(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\)
\(\overrightarrow{IA}=k.\overrightarrow{IB}(k\neq 1)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_I=\frac{x_A-k.x_B}{1-k}\\ \\ y_I=\frac{y_A-k.y_B}{1-k}\\ \\ z_I=\frac{z_A-k.z_B}{1-k} \end{matrix}\right.\)
I là trung điểm AB thì
\(\left\{\begin{matrix} x_I=\frac{x_A+x_B}{2}\\ \\ y_I=\frac{y_A+y_B}{2}\\ \\ z_I=\frac{z_A+z_B}{2} \end{matrix}\right.\) 

G là trọng tâm \(\Delta ABC\)
\(\left\{\begin{matrix} x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ \\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\\ \\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3} \end{matrix}\right.\)
G là trọng tâm của tứ diện ABCD
\(\left\{\begin{matrix} x_G=\frac{x_A+x_B+x_C+x_D}{4}\\ \\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C+y_D}{4}\\ \\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C+z_D}{4} \end{matrix}\right.\)
II Bài tập
VD1: Cho tam giác ABC, A(-2;3;6), B(-4;6;0), C(-3;5;4).
1) Xác định tọa độ trung điểm M của BC
2) Tính độ dài đường trung tuyến AM
3) Tìm tọa độ điểm E sao cho A là trung điểm BE
4) Tìm tọa độ trong tâm G của tam giác ABC
5) Tìm tọa độ điểm F sao cho A là trọng tâm tam giac FBC
6) Tìm tọa độ trọng tâm tứ diện OABC, O(0;0;0).
7) Tìm tọa độ chân đường phân giác trong góc A.
8) Tìm tọa độ chân đường phân giác ngoài góc A.
9) Tìm tọa độ N sao cho \(\overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{0}\)
10) Tìm tọa độ P sao cho \(\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}\)
11) Tìm tọa độ \(K\in Ox\) sao cho \(\left | \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB} \right | \ min\)
12) Tìm tọa độ \(Q\in Oy\) sao cho QA² + 2QB² min
Giải
1)
Tọa độ M\(\left\{\begin{matrix} x_M=\frac{1}{2}(x_B+x_C)=-\frac{7}{2}\\ \\ y_M=\frac{1}{2}(y_B+y_C)=\frac{11}{2}\\ \\ z_M=\frac{1}{2}(z_B+z_C)=2 \end{matrix}\right.\)
\(M\left ( -\frac{7}{2};\frac{11}{2};2 \right )\)
2) 
\(\overrightarrow{AM}=(-\frac{3}{2};\frac{5}{2};-4)\)
\(\overrightarrow{AM}=\sqrt{(-\frac{3}{2})^2+(\frac{5}{2})^2+(-4)^2}=\frac{7}{\sqrt{2}}\)
3) 
A là trung điểm BE 
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_B+x_E=2x_A\\ y_B+y_E=2y_A\\ z_B+z_E=2z_A \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -4+x_E=-4\\ 6+y_E=6\\ 0+z_E=12 \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_E=0\\ y_E=0\\ z_E=12 \end{matrix}\right.\Rightarrow E(0;0;12)\)
4)
Tọa độ trọng tâm G của \(\Delta ABC\) là 
\(\left\{\begin{matrix} x_G=\frac{1}{3}(x_A+x_B+x_C)=-3\\ \\ y_G=\frac{1}{3}(y_A+y_B+y_C)=\frac{14}{3}\\ \\ z_G=\frac{1}{3}(z_A+z_B+z_C)=\frac{10}{3} \end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left (-3; \frac{14}{3}; \frac{10}{3} \right )\)
5)
A là trọng tâm \(\Delta FBC\) khi
\(\left\{\begin{matrix} x_F+x_B+x_C=3x_A\\ y_F+y_B+y_C=3y_A\\ z_F+z_B+z_C=3z_A \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} x_F=3x_A-x_B-x_C=-1\\ y_F=3y_A-y_B-y_C=-2\\ z_F=3z_A-z_B-z_C=14 \end{matrix}\right.\)
Vậy \(F(-1;-2;14)\)
6)
Tọa độ trọng tâm G' của tứ diện OABC
\(\left\{\begin{matrix} x_G'=\frac{1}{4}(x_O+x_A+x_B+x_C) =-\frac{9}{4}\\ \\ y_G'=\frac{1}{4}(y_O+y_A+y_B+y_C) =\frac{7}{2}\\ \\ z_G'=\frac{1}{4}(z_O+z_A+z_B+z_C) = \frac{5}{2} \end{matrix}\right.\)
Vậy \(G'\left ( -\frac{9}{4}; \frac{7}{2}; \frac{5}{2} \right )\)
7)
D là chân đường phân giác trong góc A, ta có
\(\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}\Rightarrow \overrightarrow{DB}=\frac{-AB}{AC}.\overrightarrow{DC} \ (1)\)
\(\overrightarrow{AB}=(-2;3;-6)\Rightarrow AB=\sqrt{(-2)^2+3^2+(-6)^2}=7\)
\(\overrightarrow{AC}=(-1;2;-2)\Rightarrow AC=\sqrt{(-1)^2+2^2+(-2)^2}=3\)
\((1)\Leftrightarrow \overrightarrow{DB}=-\frac{7}{3}\overrightarrow{DC}\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_D=\frac{x_B+\frac{7}{3}x_C}{1+\frac{7}{3}}=\frac{-4-7}{\frac{10}{3}}=-\frac{33}{10}\\ \\ y_D=\frac{y_B+\frac{7}{3}y_C}{1+\frac{7}{3}}=\frac{6-\frac{35}{3}}{\frac{10}{3}}=\frac{53}{10}\\ \\ z_D=\frac{z_B+\frac{7}{3}z_C}{1+\frac{7}{3}}=\frac{0+\frac{38}{3}}{\frac{10}{3}}=\frac{14}{5} \end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left ( -\frac{33}{10};\frac{53}{10};\frac{14}{5} \right )\)
8)
Gọi T là chân phân giác ngoài góc A
\(\overrightarrow{TB}=\frac{AB}{AC}.\overrightarrow{TC} \ hay \ \overrightarrow{TB}=\frac{7}{3}.\overrightarrow{TC}\)
\(\left\{\begin{matrix} x_T=\frac{x_B-\frac{7}{3}x_C}{1- \frac{7}{3}}=\\ \\ y_T=\frac{y_B-\frac{7}{3}y_C}{1- \frac{7}{3}}=\\ \\ z_T=\frac{z_B-\frac{7}{3}z_C}{1- \frac{7}{3}}= \end{matrix}\right.\)
9) 
\(\overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{NA}=-2\overrightarrow{NB}\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -2-x_N=-2(-4-x_N)\\ 3-y_N=-2(6-y_N)\\ 6-z_N=-2(0-z_N) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_N=-\frac{10}{3}\\ y_N=5\\ z_N=2 \end{matrix}\right.\)
Vậy \(N\left (-\frac{10}{3}; 5; 2 \right )\)
10)
\(\overrightarrow{PA}=(-2-x_P;3-y_P; 6-z_P)\)
\(2\overrightarrow{PB}=(-8-x_P;12-2y_P; -2-z_P)\)
\(3\overrightarrow{PC}=(-9-3x_P;15-3y_P; 12-3z_P)\)
\(\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}= (19-6x_P;30-6y_P;18-6z_P)\)
\(\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -19-6x_P=0\\ 30-6y_P=0\\ 18-6z_P=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_P=-\frac{19}{6}\\ y_P=5\\ z_P=3 \end{matrix}\right.\)
Vậy \(P\left (-\frac{19}{6}; 5; 3 \right )\)
11) Cách 1
\(K\in Ox\Rightarrow K(a;0;0)\)
\(\overrightarrow{KA}=(-2-a;3;6)\)
\(2\overrightarrow{KB}=(-8-2a;12;0)\)
\(\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=(-10-3a;15;6)\)
\(\left | \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB} \right |= \sqrt{(-10-3a)^2+15^2+6^2}\geq \sqrt{15^2+6^2}\)
\(\left | \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB} \right | \ min \ Khi \ -10-3a=0\Leftrightarrow a=-\frac{10}{3}\)
Vậy \(K\left ( -\frac{10}{3};0;0 \right )\)
Cách 2: 
\(\left | \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB} \right | = \left | \overrightarrow{KN}+\overrightarrow{NA}+2(\overrightarrow{KN}+ \overrightarrow{NB}) \right |\)
\(=\left | 3\overrightarrow{KN}+(\overrightarrow{NA}+ 2\overrightarrow{NB}) \right |=3KN\)
\(\left | \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB} \right | \ _{min} \ Khi \ KN _{min}, K\in Ox\)
Điều này xảy ra khi K là hình chiếu vuông góc của N trên Ox
Vậy \(K\left ( -\frac{10}{3};0;0 \right )\)
12)

\(Q\in Oy\Rightarrow Q(0;a;0)\)
\(QA^2=(-2)^2+(a-3)^2+6^2=a^2-6a+49\)
\(QB^2=(-4)^2+(6-a)^2=a^2-12a+52\)
\(QA^2+2QB^2=a^2-6a+49+2a^2-24a+104\)
\(=3a^2-30a+153=3(a^2-10a+25)+78=3(a-5)^2+78\geqslant 78\)
\(QA^2+2QB^2_{min}=78 \ khi \ a =5\)
Vậy Q(0;5;0)