10 Bài Toán bồi dưỡng học sinh giỏi 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên (Chuyên đề: Đại số)

10 Bài Toán bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên
Chuyên đề: Đại số

Câu 1: Tìm đa thức với hệ số nguyên nhận $x = \sqrt 2 + \sqrt[3]{2}$  là nghiệm.

Câu 2: Cho $2{\rm{a}} + 3b = 5$. Chứng minh rằng $3{{\rm{a}}^2} + 2{b^2} \ge \frac{{30}}{7}$

Câu 3: Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = m + 1\\{x^2}y + x{y^2} = m\end{array} \right.$ với m là tham số
a) Giải hệ với $m =  - 2$
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ có nghiệm $(x,y)$ với x và y âm.

Câu 4: Cho $a,b,c > 1$ thỏa mãn $a + b + c = 4$. Chứng minh rằng: $abc \ge 64(a - 1)(b - 1)(c - 1)$

Câu 5: (Khối PT chuyên ĐHSPHN) Giải phương trình:
${x^3} + \frac{{{x^3}}}{{{{(x - 1)}^3}}} + \frac{{3{{\rm{x}}^2}}}{{x - 1}} - 2 = 0$

Câu 6: Chứng minh rằng: $x = \sqrt(3){{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt(3){{9 - 4\sqrt 5 }}$ là nghiệm của phương trình:
${x^3} - 3{\rm{x}} - 18 = 0$. Tìm dạng gọn nhất của x.

Câu 7: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{2{{\rm{x}}^2}}}{{{x^2} + 1}} = y\\\frac{{3{y^3}}}{{{y^4} + {y^2} + 1}} = z\\\frac{{4{{\rm{z}}^4}}}{{{z^6} + {z^4} + {z^2} + 1}} = x\end{array} \right.$

Câu 8: Cho $a - 3b = 7$. Chứng minh rằng $3{{\rm{a}}^2} + {b^2} \ge \frac{{21}}{4}$

Câu 9: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x + y + z = 1$.
Chứng minh rằng: $\frac{{\sqrt {xy + z}  + \sqrt {2{{\rm{x}}^2} + 2{y^2}} }}{{1 + \sqrt {xy} }} \ge 1$

Câu 10: Cho ${(a - 1)^2} + {(b - 2)^2} = 5$. Chứng minh rằng $a + 2b \le 10$

Hướng dẫn giải:

Câu 1: Ta có:
$x = \sqrt 2  + \sqrt(3){2} \Leftrightarrow x - \sqrt 2  = \sqrt(3){2} \Leftrightarrow {(x - \sqrt 2 )^3} = 2$
$\Leftrightarrow {x^3} - 3\sqrt 2 {x^2} + 6{\rm{x}} - 2\sqrt 2  = 2 \Leftrightarrow {x^3} + 6{\rm{x}} - 2 = \sqrt 2 (3{{\rm{x}}^2} + 2)$
Bình phương hai vế trên, ta được:
${({x^3} + 6{\rm{x}} - 2)^2} = 2{(3{{\rm{x}}^2} + 2)^2} \Leftrightarrow {x^6} - 4{{\rm{x}}^4} - 6{x^3} + 12{{\rm{x}}^2} - 24{\rm{x}} - 4 = 0$
nên x là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên sau:
$P(x) = {x^6} - 6{{\rm{x}}^4} - 4{x^3} + 12{{\rm{x}}^2} - 24{\rm{x}} - 4 = 0$

Câu 2:
Theo bất đẳng thức Bunyakovsky:
$25 = {(2{\rm{a}} + 3b)^2} = {\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}.\sqrt 3 a + \frac{3}{{\sqrt 2 }}.\sqrt 2 b} \right)^2} \le \left( {\frac{4}{3} + \frac{9}{2}} \right)(3{{\rm{a}}^2} + 2{b^2})$
$\Leftrightarrow 3{{\rm{a}}^2} + {b^2} \ge \frac{{30}}{7}$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{a}} + 3b = 5\\\frac{{3{\rm{a}}}}{2} = b\end{array} \right. \Rightarrow a = \frac{4}{7};b = \frac{9}{7}$

Câu 3:
Vì mỗi phương trình của hệ đã cho đối xứng với hai ẩn x và y, nên ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ:
$\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = xy\end{array} \right.$ ta có hệ thức sau:
$\left\{ \begin{array}{l}S + P = m + 1\\SP = m\end{array} \right.$
Áp dụng định lý Vi ét đảo, ta suy ra S, P là hai nghiệm của phương trình: ${X^2} - (m + 1)X + m = 0$. Từ đó ta có:
$\left[ \begin{array}{l}S = m;P = 1(1)\\S = 1;P = m(2)\end{array} \right.$
a) Với $m =  - 2$ thì x, y là các nghiệm của một trong các phương trình sau:
$\left[ \begin{array}{l}{X^2} + 2{\rm{X}} + 1 = 0\\{X^2} - X - 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y =  - 1\\x = 2;y =  - 1\\x =  - 1;y = 2\end{array} \right.$
b) Để phương trình có nghiệm (x,y) với $x < 0;y < 0$ thì: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = S < 0\\xy = P > 0\end{array} \right.$
Do đó, trường hợp (2) không thỏa mãn. Trường hợp (1) cho ta thỏa mãn đề bài khi:
$\left\{ \begin{array}{l}S < 0\\P > 0\\{S^2} \ge 4P\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{m^2} \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le  - 2$
 

Trên đây là phần trích của 10 Bài Toán bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên về chuyên đề đại số, để xem tiếp nội dung lời giải chi tiết các em vui lòng đăng nhập vào Hoc247.net bằng cách xem Online hoặc tải về máy tính.