Ôn thi HSG Toán lớp 9 phần Đại số

27/04/2017 709.04 KB 335 lượt xem 34 tải về

Tải về

HOC247 xin gửi tới các bạn tài liệu Ôn thi HSG Toán lớp 9 phần Đại số gồm nhiều dạng bài tập có đáp án chi tiết, cực hay. Đây sẽ là tài liệu tuyệt vời dành cho các bạn đang ôn thi học sinh giỏi Toán 9 nhằm đạt kết quả tốt trong kì thi sắp tới.

ÔN THI HSG TOÁN LỚP 9 PHẦN ĐẠI SỐ

 

Câu 1:  Cho biểu thức

\(A = \left( {1 - \frac{{a - 3\sqrt a }}{{a - 9}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt a  - 2}}{{\sqrt a  + 3}} + \frac{{\sqrt a  - 3}}{{2 - \sqrt a }} - \frac{{9 - a}}{{a + \sqrt a  - 6}}} \right)\)

a) Rút gọn A.

b. Tìm các số nguyên của a để A là số nguyên

Hướng dẫn giải:

a) Rút gọn A.

 Điều kiện: \(a \ge 0;a \ne 4\) 

\(A = \left( {1 - \frac{{\sqrt a (\sqrt a  - 3)}}{{\left( {\sqrt a  + 3} \right)\left( {\sqrt a  - 3} \right)}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt a  - 2}}{{\sqrt a  + 3}} + \frac{{\sqrt a  - 3}}{{2 - \sqrt a }} + \frac{{\left( {3 - \sqrt a } \right)\left( {3 + \sqrt a } \right)}}{{\left( {\sqrt a  - 2} \right)\left( {\sqrt a  + 3} \right)}}} \right)\)  

\(A = \left( {1 - \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a  + 3}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt a  - 2}}{{\sqrt a  + 3}} + \frac{{\sqrt a  - 3}}{{2 - \sqrt a }} - \frac{{3 - \sqrt a }}{{\sqrt a  - 2}}} \right)\) 

\(A = \frac{3}{{\sqrt a  + 3}}:\frac{{\sqrt a  - 2}}{{\sqrt a  + 3}}\)

\(A = \frac{3}{{\sqrt a  - 2}}\)

b) Tìm các số nguyên của a để A là số nguyên.

 Giả sử \(a \in Z\). Để \(A \in Z \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt a  - 2}} \in Z\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt a  - 2} \right)\) là ước của 3

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt a  - 2 = 1\\\sqrt a  - 2 =  - 1\\\sqrt a  - 2 = 3\\\sqrt a  - 2 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt a  = 3 \Leftrightarrow a = 9\\\sqrt a  = 1 \Leftrightarrow a = 1\\\sqrt a  = 5 \Leftrightarrow a = 25\\\sqrt a  =  - 1(l)\end{array} \right.\) 

Câu 2:  Giải phương trình: \({x^2} + {\rm{ }}5x{\rm{ }} + 1{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {x + 5} \right)\sqrt {{x^2} + 1} \)

Hướng dẫn giải:

\({x^2} + {\rm{ }}5x{\rm{ }} + 1{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {x + 5} \right)\sqrt {{x^2} + 1} \)

\({x^2} + 1{\rm{ }} + {\rm{ }}5x{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {x + 5} \right)\sqrt {{x^2} + 1} \)

\({x^2} + 1{\rm{ }} + {\rm{ }}5x{\rm{ }} - {\rm{ }}x\sqrt {{x^2} + 1}  - {\rm{ }}5\sqrt {{x^2} + 1}  = 0\)

 \(\sqrt {{x^2} + 1} (\sqrt {{x^2} + 1}  - x) + 5(x - \sqrt {{x^2} + 1} ) = 0\)

 \((\sqrt {{x^2} + 1}  - x)(\sqrt {{x^2} + 1}  - {\rm{ }}5){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\((\sqrt {{x^2} + 1}  - x) = {\rm{ }}0\)hoặc \((\sqrt {{x^2} + 1}  - {\rm{ }}5){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

 hoặc  

\({x^2} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {x^2}\)  (không có x thỏa mãn), hoặc \({x^2} + {\rm{ }}1 = {\rm{ }}25\)

\({x^2} = {\rm{ }}24\) \(\sqrt {{x^2} + 1}  = 5\)

\(x{\rm{ }} =  \pm \sqrt {24} \)

Vậy nghiệm của PT là \(x{\rm{ }} =  \pm \sqrt {24} \)

Câu 3: Giải phương trình: \(6{x^4} - 5{x^3} - 38{x^2} - 5x + 6 = 0\).

Hướng dẫn giải:

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình

Chia cả 2 vế của phương trình cho \({x^2}\) ta được:

\(6{x^2} - 5x - 38 - \frac{5}{x} + \frac{6}{{{x^2}}} = 0\)

\( \Leftrightarrow 6({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}) - 5(x + \frac{1}{x}) - 38 = 0\)

Đặt \(y = x + \frac{1}{x}\)   thì: \({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {y^2} - 2\)

Ta được pt: \(6{y^2}-{\rm{ }}5y{\rm{ }}-{\rm{ }}50{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left( {3y{\rm{ }}-{\rm{ }}10} \right)\left( {2y{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Do đó:  \(y = \frac{{10}}{3}\) và  \(y =  - \frac{5}{2}\)

* Với  \(y = \frac{{10}}{3}\) thì: \(x + \frac{1}{x} = \frac{{10}}{3} \Leftrightarrow 3{x^2} - 10x + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {3x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{1}{3}\\{x_2} = 3\end{array} \right.\)

* Với \(y =  - \frac{5}{2}\) thì: \(x + \frac{1}{x} =  - \frac{5}{2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\rm{ }}\left( {2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_3} =  - \frac{1}{2}\\{x_4} =  - 2\end{array} \right.\)

Câu 4:

  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \frac{{3{x^2} - 8x + 6}}{{{x^2} - 2x + 1}}\)
  2. Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)

Hướng dẫn giải:

a. Viết được \(A = \frac{{2{x^2} - 4x + 2 + {x^2} - 4x + 4}}{{{x^2} - 2x + 1}} = 2 + \frac{{{{(x - 2)}^2}}}{{{{(x - 1)}^2}}} \ge 2\) 

Lập luận: min A = 2 khi  \(x - 2 = {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}x = {\rm{ }}2\)

b. Biến đổi 

\( \Leftrightarrow {\rm{ }}2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} \ge 2ab + 2bc + 2ca\)

\( \Leftrightarrow {\rm{ }}{a^2} - 2ab + {b^2} + {b^2} - 2bc{\rm{ }} + {c^2} + {c^2} - 2ca + {a^2} \ge 0\)

\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)\( \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge {\rm{ }}0\)

Lập luận  ⇒ khẳng định.

Để xem tiếp nội dung của tài liệu các em có thể xem Online hoặc đăng nhập Hoc247.net để tải về máy.

Các em có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu tham khảo Toán 9 trên Hoc247.net.

 

 

Tài liệu liên quan