Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn và tiếp tuyến của đường tròn

Cho đường tròn \(\left( C \right):{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{R}^{2}}$ có tâm \(I\left( a;b \right)\)  và đường thẳng \(\Delta :Ax+By+C=0\) 

Cách 1: Xét \(d\left( I;\Delta  \right)=\frac{Aa+Bb+C}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}\) 

+ Nếu \(d\left( I;\Delta  \right)>R\Rightarrow \Delta \)  và (C) không có điểm chung.

+ Nếu \(d\left( I;\Delta  \right)=R\Rightarrow \Delta \) tiếp xúc với (C) tại H (H là hình chiếu của I lên \(\Delta \) ). Khi này ta nói \(\Delta \)  là tiếp tuyến của (C) với H là tiếp điểm.

+ Nếu \(d\left( I;\Delta  \right)

Cách 2: Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l} \Delta \\ \left( C \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} Ax + By + C = 0\\ {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2} \end{array} \right.\left( 1 \right)\)

+ Nếu hệ (1) vô nghiệm \(\Rightarrow \Delta \)  và (C) không có điểm chung

+ Nếu (1) có 1 nghiệm \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\Rightarrow \Delta \) tiếp xúc với (C) tại \(H\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) 

+ Nếu (1) có 2 ngiệm \(\Rightarrow \Delta \) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B.

Tiếp tuyến \(\Delta \) tại \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) của (C) là đường thẳng qua \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) và vuông góc với MI \(\Rightarrow \) có VTPT \(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{IM}=\left( {{x}_{0}}-a;{{y}_{0}}-b \right)\)

\(\Rightarrow \) phương trình \(\Delta :\,\,\left( 3 \right)\)

\(\Rightarrow \left( 3 \right)\) là phương trình tiếp tuyến của (C) tại M

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho \(\left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=4\) phương trình tiếp tuyến của (C) tại \(M\left( 3;-2 \right)\) của (C) là d:x+by+c=0. Khi đó giá trị b+c là A. b+c=-2 B. b+c=-3 C. b+c=-6 D. b+c=-5

Lời giải

(C) có tâm \(I\left( 1;-2 \right)\), bán kính R=2

\(IM=\sqrt{{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}=2=R\Rightarrow M\in \left( C \right)\)

Tiếp tuyến của (C) tại M là đường thẳng \(\Delta \) qua \(M\left( 3;-2 \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow{IM}=\left( 2;0 \right)\)

\(\Rightarrow \Delta :2\left( x-3 \right)+0\left( y+2 \right)=0\Leftrightarrow x-3=0\Rightarrow \left\{ \begin{align} & b=0 \\ & c=-3 \\ \end{align} \right.\Rightarrow b+c=-3\)

Đáp án B.

Lưu ý: Bạn có thể áp dụng trực tiếp công thức (3) sẽ nhanh hơn:

\(\left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=4;\,\,\,M\left( 3;-2 \right)\)

\(\Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến tại M của đường tròn (C) là:

\(\left( 3-1 \right)\left( x-3 \right)+\left[ -2-\left( -2 \right) \right]\left[ y-\left( -2 \right) \right]=0\Leftrightarrow x-3=0\)

Cho đường tròn (C) tâm I, bán kính R và điểm M thỏa mãn IM>R

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho \(\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y-2=0\) và \(M\left( 3;5 \right)\). Khi đó khoảng cách từ điểm \(N\left( 2;3 \right)\) đến đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với (C) là A. 1 B. \(\frac{1}{2}\) C. 2 D. \(\frac{3}{3}\)

Lời giải

Cách 1:

+ (C) có tâm \(I\left( 1;1 \right)\), bán kính \(R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+2}=2\)

\(IM=\sqrt{{{\left( 3-1 \right)}^{2}}+{{\left( 5-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}>R\Rightarrow \) Qua M có 2 tiếp tuyến đến (C)

+ Gọi \(\overrightarrow{n}=\left( a;b \right)\ne 0\) là VTPT của đường thẳng \(\Delta \) qua \(M\left( 3;5 \right)\)

\(\Rightarrow \Delta :a\left( x-3 \right)+b\left( y-5 \right)=0\Leftrightarrow ax+by-3a-5b=0\)

+ \(\Delta \) là tiếp tuyến của (C) \(\Leftrightarrow d\left( I;\Delta  \right)=R\)

\(\Leftrightarrow \frac{\left| a+b-3a-5b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=2\Leftrightarrow \left| -2a-4b \right|=2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\)

\(\Leftrightarrow 3{{b}^{2}}+4ab=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & b=0 \\ & b=\frac{-4a}{3} \\ \end{align} \right.\)

- Với b =0 chọn a = 1

\(\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left( 1;0 \right)\Rightarrow {{\Delta }_{1}}:1\left( x-3 \right)+0\left( y-5 \right)=0\Leftrightarrow x-3=0\)

- Với \(b=\frac{-4a}{3}\) chọn a = 3

\(\Rightarrow b=-4\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left( 3;-4 \right)\Rightarrow {{\Delta }_{2}}:3x-4y+11=0\)

Cách 2:

+ \(\Delta \) qua \(M\left( 3;5 \right)$ có hệ số góc k:

\(y=k\left( x-3 \right)+5\Leftrightarrow kx-y+5-3k=0\)

+ \(\Delta \) tiếp xúc với (C) \(\Leftrightarrow d\left( I;\Delta  \right)=R\Leftrightarrow \frac{\left| k-1+5-3k \right|}{\sqrt{{{k}^{2}}+1}}=2\Leftrightarrow k=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow \) Tiếp tuyến là

\({{\Delta }_{1}}:y=\frac{3}{4}\left( x-3 \right)+5\Leftrightarrow 3x-4y+11=0\Rightarrow d\left( N;{{\Delta }_{1}} \right)=1\)

Tiếp tuyến còn lại là đường thẳng \({{\Delta }_{2}}:x-3=0\)

Thật vậy: \(d\left( I;{{\Delta }_{2}} \right)=\frac{\left| 1-3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+0}}=2=R\Rightarrow d\left( N;{{\Delta }_{2}} \right)=1\)

Đáp án A.

Tổng quát: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn qua \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\)

- Bước 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua M có hệ số góc k:

\(\Delta :y=k\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\)

- Bước 2: Buộc \(\Delta \) tiếp xúc với (C) \(\Rightarrow d\left( I;\Delta  \right)=R\Leftrightarrow f\left( k \right)=0\)

\(\Rightarrow \) 2 giá trị k tương ứng với 2 tiếp tuyến \({{\Delta }_{1}}\) và \({{\Delta }_{2}}\)

(Nếu từ phương trình trên chỉ tìm được 1 tiếp tuyến thì tiếp tuyến thứ 2 là đường thẳng \({{\Delta }_{2}}:x-{{x}_{0}}=0\))

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, có bao nhiêu điểm \(M\in d:x-y-3=0\) mà từ M kẻ được đến \(\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-4y+1=0\) hai tiếp tuyến mà hai tiếp tuyến đó tạo với nhau một góc \({{60}^{0}}\) A. 3                     B. 1                     C. 2                      D. 4

Lời giải

Gọi hai tiếp điểm là A và B

(C) có tâm \(I\left( 1;2 \right)\) và bán kính R=2

\(M\in d:y=x-3\Rightarrow M\left( m;m-3 \right)\)

MA tạo với MB một góc \({{60}^{0}}\Rightarrow \widehat{AMB}={{60}^{0}}\) hoặc \(\widehat{AMB}={{120}^{0}}\)

- TH1: \(\widehat{AMB}={{60}^{0}}\Rightarrow \widehat{AMI}={{30}^{0}}\Rightarrow \sin {{30}^{0}}=\frac{AI}{IM}\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{2}{\sqrt{{{\left( m-1 \right)}^{2}}+{{\left( m-5 \right)}^{2}}}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=1 \\ & m=5 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \) có 2 điểm M thỏa mãn (1)

- TH2: \(\widehat{AMB}={{120}^{0}}\Rightarrow \widehat{AMI}={{60}^{0}}\Rightarrow \sin {{60}^{0}}=\frac{AI}{IM}\)

\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2}{\sqrt{{{\left( m-1 \right)}^{2}}+{{\left( m-5 \right)}^{2}}}}\Leftrightarrow 6{{m}^{2}}-36m+62=0\) vô nghiệm (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \) có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án C.

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng qua \(M\left( 6;2 \right)\) và cắt \(\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-6y+14=0\) tại 2 điểm A và B sao cho \(AB=2\sqrt{3}\) là: A. y=2 và 3x+4y-26=0 B. x=2 và 3x+4y-26=0       C. y=2 và 3x+4y-30=0 D. x=2 và 3x+4y-30=0

Lời giải

Đường tròn (C) có tâm \(I\left( 3;3 \right)\), bán kính \(R=\sqrt{{{3}^{2}}+{{3}^{2}}-14}=2\)

Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow IH\bot AB;\,\,HA=\frac{AB}{2}=\sqrt{3}\)

\(\Delta AIH\) vuông tại H \(\Rightarrow IH=\sqrt{I{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}-{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=1=d\left( I;d \right)\)

\(\Rightarrow \) đường thẳng d đi qua \(M\left( 6;2 \right)\) và cách \(I\left( 3;3 \right)\) một khoảng là 1

Gọi VTPT của d là \(\overrightarrow{n}=\left( a;b \right)\ne \overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow d:a\left( x-6 \right)+b\left( y-2 \right)=0\Leftrightarrow ax+by-6a-2b=0\)

Mà \(d\left( I;d \right)=1=\frac{\left| 3a+3b-6a-2b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=1\Leftrightarrow 8{{a}^{2}}-6ab=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=0 \\ & a=\frac{3}{4}b \\ \end{align} \right.\)

- Với a = 0 chọn \(b=1\Rightarrow d:y-2=0\left( 1 \right)\)

- Với \(a=\frac{3}{4}b\) chọn \(b=4\Rightarrow a=3\Rightarrow d:3x+4y-26=0\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta chọn đáp án A

Đáp án A.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về Phương trình elip Toán 10. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!