Trắc nghiệm về Số phức có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất có đáp án

TRẮC NGHIỆM VỀ SỐ PHỨC CÓ MÔĐUN NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CÓ ĐÁP ÁN

A – CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Biết rằng số phức z thỏa mãn \(u = (z + 3 - i)(\overline z  + 1 + 3i)\) là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|.

Giải

Giả sử z = a + bi, ta có

\(\begin{array}{l}
u = (a + 3 + (b - 1)i)(a + 1 - (b - 3)i)\\
 = {a^2} + {b^2} + 4a - 4b + 6 + 2(a - b - 4)i\\
u \in R\,\, \Leftrightarrow a - b - 4 = 0 \Leftrightarrow a = b + 4
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
|z|\,\min  \Leftrightarrow \,|z{|^2}\,\,\min \\
|z{|^2} = {a^2} + {b^2} = {(b + 4)^2} + {b^2} = 2{b^2} + 8b + 16 = 2{(b + 2)^2} + 8 \ge 8
\end{array}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(b =  - 2\,\, \Rightarrow \,\,a = 2\)

Vậy \(|z|\,\min  \Leftrightarrow \,z = 2 - 2i\)

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn: \(\left| {z + i + 1} \right| = \left| {\overline z  - 2i} \right|\). Tìm giá trị nhỏ nhất của z.

Giải

\(\begin{array}{l}
\left| {a + bi + i + 1} \right| = \left| {a - bi - 2i} \right|\\
 \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b + 2} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow {a^2} + 2a + 1 + {b^2} + 2b + 1 = {a^2} + {b^2} + 4b + 4\\
 \Leftrightarrow 2a - 2b - 2 = 0\\
 \Rightarrow a - b = 1 \Rightarrow a = 1 + b\\
 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( {b + 1} \right)^2} + {b^2} = 2{b^2} + 2b + 1 \ge \frac{1}{2}
\end{array}\)

\( \Rightarrow \left| z \right| \ge \sqrt {\frac{1}{2}}  \Leftrightarrow a = \frac{1}{2};\,\,\,b = \frac{{ - 1}}{2}\)

Vậy \(Min\left| z \right| = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn: \(\left| {z - 3 + 4i} \right| = 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| z \right|\).

Giải

Giả sử z = a+bi, ta có: \(\left| {a + bi - 3 + 4i} \right| = 4 \Rightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b + 4} \right)^2} = 16\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
a - 3 = 4\sin \varphi \\
b + 4 = 4\cos \varphi 
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 3 + 4\sin \varphi \\
b = 4\cos \varphi  - 4
\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow {\left| z \right|^2} = {a^2} + {b^2} = 9 + 16{\sin ^2}\varphi  + 24\sin \varphi  + 16{\cos ^2}\varphi  + 16 - 32\cos \varphi \\
 = 41 + 24\sin \varphi  - 32\cos \varphi  = 41 + 40(\frac{3}{5}\sin \varphi  - \frac{4}{5}\cos \varphi )
\end{array}\)

Đặt \(\cos \alpha  = \frac{3}{5},\sin \alpha  = \frac{4}{5} \Rightarrow {\left| z \right|^2} = {a^2} + {b^2} = 41 + 40\sin (\varphi  - \alpha ) \ge 1\).

Dấu "=" xảy ra khi \(\varphi  - \alpha  =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Rightarrow \varphi  =  - \frac{\pi }{2} + \alpha  + k2\pi \). Do đó \(Min\left| z \right| = 1\)

Ngoài ra để tìm GTNN, GTLN của \(\left| z \right|\) ta có thể sử dụng phương pháp hình học.

Ví dụ 4: Cho hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + 5} \right| = 5,\,\,\left| {{z_2} + 1 - 3i} \right| = \left| {{z_2} - 3 - 6i} \right|\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right|\).

Giải

Giả sử M(a;b) là điểm biểu diễn của số phức \({z_1} = a + bi\),  là N(c;d) điểm biểu diễn của số phức \({z_2} = c + di\)

Ta có \(\left| {{z_1} + 5} \right| = 5 \Leftrightarrow {(a + 5)^2} + {b^2} = 25\).

Vậy M thuộc đường tròn \((C):\,{(x + 5)^2} + {y^2} = 25\)

\(\left| {{z_2} + 1 - 3i} \right| = \left| {{z_2} - 3 - 6i} \right| \Leftrightarrow 8c + 6d = 35\)

Vậy N thuộc đường thẳng \(\Delta :\,\,8x + 6y = 35\).

Dễ thấy đường thẳng \(\Delta\) không cắt (C) và \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = MN\).

Bài toán trở thành: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn \((C):\,{(x + 5)^2} + {y^2} = 25\) và đường thẳng \(\Delta :\,\,8x + 6y = 35\). Tìm giá trị nhỏ nhất của MN, biết M chạy trên (C), N chạy trên đường thẳng \(\Delta\).

                      

Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với \(\Delta\). PT đường thẳng d là 6x - 8y = - 30.

Gọi H là giao điểm của d và \(\Delta\). Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ  

\(\left\{ \begin{array}{l}
8x + 6y = 35\\
6x - 8y =  - 30
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = \frac{9}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow H(1;\frac{9}{2})\)

Gọi K, L là giao điểm của d với đường tròn (C).

Tọa độ K, L là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}
{(x + 5)^2} + {y^2} = 25\\
6x - 8y =  - 30
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 1;\,\,y = 3\\
x =  - 9;\,\,y =  - 3
\end{array} \right.\).

Vậy K(-1;3), L(-9;-3)

Tính trực tiếp HK, HL. Suy ra \(MinMN = \frac{5}{2}\,\, \Leftrightarrow \,M \equiv K,\,\,N \equiv H\).

Khi đó \(Min\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \frac{5}{2}\)

{-- xem toàn bộ nội dung Trắc nghiệm về Số phức có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất có đáp án ở phần xem online hoặc tải về --}

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Trắc nghiệm về Số phức có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất có đáp án. Để xem toàn bộ nội dung tài liệu các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính. 

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em trong học sinh lớp 12 ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong các kì thi sắp tới.