Lý thuyết và bài tập về Phương trình đường tròn Toán 10

+ Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm \(I\left( a;b \right)\); bán kính R

\(\Rightarrow \forall M\left( x;y \right)\in \left( C \right)\Leftrightarrow IM=R\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}}=R\Leftrightarrow \,\,\left( 1 \right)\)

Phương trình (1) được gọi là phương trình (dạng chính tắc) của đường tròn \(C\left( I;R \right)\)

+ Từ \(\left( 1 \right)\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax=2by+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{R}^{2}}=0\,\,\,\left( * \right)\)

Đặt \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{R}^{2}}=c\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow \,\,\left( 2 \right)\)

\(\Rightarrow \) Phương trình (2) với \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c>0\) là phương trình (dạng tổng quát) đường tròn tâm \(I\left( a;b \right)\); bán kính \(R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}\)

Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình đường tròn? A. \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1\) B. \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-6y-1=0\)                   C. \({{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-4x-6y-1=0\) D. \(2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-4x-6y+1=0\)

Lời giải

- Phương án A: Dạng phương trình (1), là đường tròn (C) tâm \(I\left( 2;1 \right)\); bán kính R = 1.

- Phương án B: Dạng phương trình (2), có \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c={{2}^{2}}+{{3}^{2}}+1>0\Rightarrow \) là đường tròn

- Phương án C: Không đưa được về dạng phương trình (1) và (2) nên không phải là phương trình đường tròn.

- Phương án D: \(PT\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-3y+\frac{1}{2}=0\) là đường tròn tâm \(I\left( 1;\frac{3}{2} \right)\) , bán kính \(R=\sqrt{{{1}^{1}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{11}}{2}\)

Đáp án C.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm \(A\left( -5;0 \right);\,\,B\left( 1;0 \right);\,\,C\left( -3;4 \right)\) là: A. \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=\sqrt{10}\) B. \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=10\)          C. \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+2y-5=0\) D. \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-2y-5=0\)

Lời giải

Cách 1: Gọi tâm của đường tròn là \(I\left( a;b \right)\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & IA=IB \\ & IA=IC \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{\left( -5-a \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( 1-a \right)}^{2}}+{{b}^{2}} \\ & {{\left( -5-a \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( -3-a \right)}^{2}}+{{\left( 4-b \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=-2 \\ & b=1 \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow I\left( -2;1 \right)$; bán kính \(R=IA=\sqrt{10}\)

\(\Rightarrow \) đường tròn (C) có phương trình:

\({{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=10\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-2y-5=0\)

Cách 2:

Gọi phương trình \(\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0\,\,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c>0 \right)\)

Đường tròn (C) qua A, B, C \(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{\left( -5 \right)}^{2}}+{{0}^{2}}-2a.\left( -5 \right)-2b.0+c=0 \\ & {{1}^{2}}+{{0}^{2}}-2.a.1-2.b.0+c=0 \\ & {{\left( -3 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}-2a.\left( -3 \right)-2b.4+c=0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 10a+c=-25 \\ & 2a-c=1 \\ & 6a-8b+c=-25 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=-2 \\ & b=1 \\ & c=-5 \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-2y-5=0a\)

Đáp án D.

Lưu ý:

+ Bạn có thể tìm tâm (C) bằng cách tìm giao điểm của 2 đường trung trực của tam giác ABC

+ Đối với các phương án trong ví dụ này bạn có thể thử A, B, C vào các phương trình để tìm được phương trình đúng.

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho \(\left( {{C}_{m}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2mx-4\left( m-2 \right)y+6+m=0\). Số giá trị nguyên để \(\left( {{C}_{m}} \right)\) không phải là phương trình đường tròn là A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số

Lời giải

\(\left( {{C}_{m}} \right)\) là phương trình đường tròn \(\Leftrightarrow {{m}^{2}}+{{\left[ 2\left( m-2 \right) \right]}^{2}}-6-m>0\)

\(\Leftrightarrow 5{{m}^{2}}-17m+10>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m>\frac{17+\sqrt{89}}{10} \\ & m<\frac{17-\sqrt{89}}{10} \\ \end{align} \right.\)

Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow \frac{17-\sqrt{89}}{10}\le m\le \frac{17+\sqrt{89}}{10}\Rightarrow \) có 2 giá trị nguyên thỏa mãn

Đáp án C.

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn \(\left( {{C}_{m}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2mx-4\left( m+1 \right)y-1=0\). Khi đó tập hợp tâm của \(\left( {{C}_{m}} \right)\) khi m thay đổi là A. một đường thẳng B. một đường tròn C. một parabol D. một điểm cố định

Lời giải

Ta có \({{m}^{2}}+{{\left[ 2\left( m+1 \right) \right]}^{2}}+1>0\,\,\forall m\Rightarrow \left( {{C}_{ m}} \right)\) là đường tròn với \(\forall m\)

Gọi tâm của \(\left( {{C}_{m}} \right)\) là \(I\left( x;y \right)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & x=-m\,\,\left( 1 \right) \\ & y=2\left( m+1 \right)\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.\)

Từ \(\left( 1 \right)\Rightarrow m=-x\) thế vào \(\left( 2 \right)\Rightarrow y=2\left( -x+1 \right)\Rightarrow y=-2x+2\,\,\left( 3 \right)\)

\(I\left( x;y \right)\) thỏa mãn phương trình (3) với \(\forall m\Rightarrow \) tập hợp I là đường thẳng (3)

Lưu ý: Phương pháp tìm tập hợp tâm của đường tròn \(\left( {{C}_{m}} \right)\)

- Bước 1: Tìm điều kiện của m để \(\left( {{C}_{m}} \right)\) là đường tròn \(\Rightarrow \) điều kiện (*)

- Bước 2: Gọi tâm là \(I\left( x;y \right)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & x=f\left( m \right)\left( 1 \right) \\ & y=h\left( m \right)\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.\)

Rút m từ 1 phương trình thế vào phương trình còn lại \(\Rightarrow f\left( x;y \right)=0\)

- Bước 3: Đối chiếu điều kiện (*)

- Kết luận: Tập hợp là đường \(\left\{ \begin{align} & f\left( x;y \right)=0 \\ & t/m\left( * \right) \\ \end{align} \right.\)

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, số điểm cố định mà đường tròn \(\left( {{C}_{m}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2mx-4\left( m+1 \right)y-1=0\) luôn đi qua khi m thay đổi là A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số

Lời giải

Giả sử điểm cố định mà \(\left( {{C}_{m}} \right)\) luôn đi qua là \(A\left( a;b \right)\)

\(\Rightarrow \) phương trình \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2am-4b\left( m+1 \right)-1=0\) đúng với \(\forall m\)

\(\Leftrightarrow \left( -2a-4b \right)m+\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4b-1 \right)=0\) đúng với \(\forall m\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a - 4b = 0\\ {a^2} + {b^2} - 4b - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2b\\ 5{b^2} - 4b - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{{ - 2}}{5}\\ b = \frac{{ - 1}}{5} \end{array} \right. \end{array} \right.\)

Vậy có hai điểm cố định mà đường tròn \(\left( {{C}_{m}} \right)\) luôn đi qua khi m thay đổi.

...

---Để xem tiếp nội dung từ bài 4 đến bài 8, các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập để tải tài liệu về máy tính---

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Lý thuyết và bài tập về Phương trình đường tròn Toán 10 có đáp án chi tiết. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tốt!