Lý thuyết và bài tập về Công thức nhân đôi, nhân ba Toán 10

1. Công thức nhân đôi

\(\sin 2a=2\sin a\cos a\)

\(\cos 2a={{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}a=2{{\cos }^{2}}a-1=1-2{{\sin }^{2}}a\)

\(\tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{{\tan }^{2}}a}\)

\(\cot 2a=\frac{{{\cot }^{2}}a-1}{2\cot a}\)

2. Công thức hạ bậc

* Công thức hạ bậc:                                     

\(\begin{align} & {{\sin }^{2}}a=\frac{1-\cos 2a}{2} \\ & {{\cos }^{2}}a=\frac{1+\cos 2a}{2} \\ & {{\tan }^{2}}a=\frac{1-\cos 2a}{1+\cos 2a} \\ & {{\cot }^{2}}a=\frac{1+\cos 2a}{1-\cos 2a} \\ \end{align}\)                                                 

* Công thức chia đôi (tính theo \(\tan \frac{a}{2}\)):

Đặt \(\tan \frac{a}{2}=t\Rightarrow \tan a=\frac{2t}{1-{{t}^{2}}};{{t}^{2}}=\frac{1-\cos a}{1+\cos a}\Rightarrow \cos a=\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}};\sin a=\frac{2t}{1+{{t}^{2}}}\)

3. Công thức nhân ba

\(\begin{align} & \sin 3x=3\sin x-4{{\sin }^{3}}x \\ & \cos 3x=4{{\cos }^{3}}x-3\cos x \\ & \tan 3x=\frac{3\tan x-{{\tan }^{3}}x}{1-3{{\tan }^{2}}x} \\ \end{align} \)

Ví dụ: Cho \(\sin \alpha =\frac{-5}{13};\pi \le \alpha \le \frac{3\pi }{2}\). Khi đó giá trị biểu thức \(\sin 2\alpha \cos 2\alpha +\tan 2\alpha \) gần nhất với giá trị nào? A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

Lời giải

Vì \(\sin \alpha =\frac{-5}{13};\alpha \) thuộc góc phần tư thứ III nên \(\cos \alpha <0\).

Vậy \(\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{{{5}^{2}}}{{{13}^{2}}}=\frac{-12}{13}\Rightarrow \tan \alpha =\frac{5}{12}}\)

Có: \(\sin 2\alpha \cos 2\alpha +\tan 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha \left( 1-2{{\sin }^{2}}\alpha  \right)+\frac{2\tan \alpha }{1-{{\tan }^{2}}\alpha }\approx 1,508\).

Đáp án D.

Bài 1: Đơn giản biểu thức\(A = \cos x.\cos 2x.\cos 4x...\cos {2^n}x\) ta được kết quả là: A. \(\frac{{\sin nx}}{{n\sin x}}\) B. \(\frac{{\sin {2^{n + 1}}x}}{{{2^{n + 1}}\sin x}}\) C. \(\frac{{\sin \left( {n + 2} \right)x}}{{\left( {n + 2} \right)\sin x}}\) D. \(\cos {2^{n + 1}}x\)

Lời giải

Có \(A.\sin x = \sin x.\cos x.\cos 2x...\cos {2^n}x = \frac{1}{2}\sin 2x.\cos 2x...\cos {2^n}x\)

\( = \frac{1}{{{2^2}}}\sin {2^2}x\cos {2^2}x...\cos {2^n}x = \frac{1}{{{2^n}}}\sin {2^n}x\cos {2^n}x\)

\( \Rightarrow A = \frac{{\sin {2^{n + 1}}x}}{{{2^{n + 1}}\sin x}}\)

Đáp án B.

Bài 2: Cho \(\cot \frac{\pi }{{14}} = a\). Khi đó giá trị biểu thức \(K = \sin \frac{{2\pi }}{7} + \sin \frac{{4\pi }}{7} + \sin \frac{{6\pi }}{7}\) là: A. a B. \(\frac{a}{2}\) C. \(\frac{{4a\left( {{a^2} - 1} \right)\left( {3{a^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^3}}}\) D. \(\frac{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^3}}}{{4a\left( {{a^2} - 1} \right)\left( {3{a^2} - 1} \right)}}\)

Lời giải

Ta có:

\(\tan \frac{\pi }{{14}} = \frac{1}{a} \Rightarrow \sin \frac{\pi }{7} = \frac{{\frac{2}{a}}}{{1 + \frac{1}{{{a^2}}}}} = \frac{{2a}}{{{a^2} + 1}} = \sin \frac{{6\pi }}{7};\cos \frac{\pi }{7} = \frac{{1 - \frac{1}{{{a^2}}}}}{{1 + \frac{1}{{{a^2}}}}} = \frac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}}\)

\( \Rightarrow \sin \frac{{2\pi }}{7} = 2\sin \frac{\pi }{7}\cos \frac{\pi }{7} = \frac{{4a\left( {{a^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}}\)

\(\sin \frac{{4\pi }}{7} = \sin \frac{{3\pi }}{7} = 3\sin \frac{\pi }{7} - 4{\sin ^3}\frac{\pi }{7}\)

\(\Rightarrow \sin \frac{{4\pi }}{7} + \sin \frac{{6\pi }}{7} = 4\sin \frac{\pi }{7} - 4{\sin ^3}\frac{\pi }{7} = 4\sin \frac{\pi }{7}\left( {1 - {{\sin }^2}\frac{\pi }{7}} \right)\)

\( = 4\sin \frac{\pi }{7}.{\cos ^2}\frac{\pi }{7} = 2\sin \frac{{2\pi }}{7}\cos \frac{\pi }{7}\)

Khi đó:

\(K = \sin \frac{{2\pi }}{7}\left( {2\cos \frac{\pi }{7} + 1} \right) = \frac{{4a\left( {{a^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}}.\frac{{2{a^2} - 2 + {a^2} + 1}}{{{a^2} + 1}} = \frac{{4a\left( {{a^2} - 1} \right)\left( {3{a^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^3}}}\)

Đáp án C.

Bài 3: Tính \({\sin ^2}2x\) biết: \(\frac{1}{{{{\tan }^2}x}} + \frac{1}{{{{\cot }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 7\) A. \(\frac{4}{9}\) B. \(\frac{8}{9}\) C. \(\frac{2}{9}\) D. \(\frac{16}{9}\)

Lời giải

Ta có:

\(\begin{array}{l} {\cot ^2}x + {\tan ^2}x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 7\\ \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 1 + {\cot ^2}x + 1\\ {\rm{ + }}\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 9\\ \Leftrightarrow \frac{2}{{{{\sin }^2}x}} + \frac{2}{{{{\cos }^2}x}} = 9\\ \Leftrightarrow \frac{2}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = 9\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x{\cos ^2}x = \frac{2}{9}\\ \Rightarrow {\sin ^2}2x = 4{\sin ^2}x{\cos ^2}x = \frac{8}{9} \end{array}\)

Đáp án B

Bài 4: Tổng: \(S = \frac{1}{{\sin a}} + \frac{1}{{\sin 2a}} + \frac{1}{{\sin 4a}} + ... + \frac{1}{{\sin {2^{2018}}a}}\) là: A. \(\tan \frac{a}{2} - \tan {2^{2018}}a\) B. \(\cot \frac{a}{2} - \cot {2^{2018}}a\) C. \(\tan \frac{a}{2} - \tan 2018a\) D. \(\cot \frac{a}{2} + \cot 2018a\)

Lời giải

Sử dụng công thức:

\(\begin{array}{l} \frac{1}{{\sin x}} = \cot \frac{x}{2} - \cot x\\ \Leftrightarrow \frac{{1 + {{\tan }^2}\frac{x}{2}}}{{2\tan \frac{x}{2}}} = \frac{1}{{\tan \frac{x}{2}}} - \frac{{1 - {{\tan }^2}\frac{x}{2}}}{{2\tan \frac{x}{2}}} \end{array}\)

(công thức tính theo \(\tan \frac{x}{2}\))

Khi đó:

\(\begin{array}{l} S = \frac{1}{{\sin a}} + \frac{1}{{\sin 2a}} + \frac{1}{{\sin 4a}}\\ {\rm{ }} + ... + \frac{1}{{\sin {2^{2018}}a}}\\ = \cot \frac{a}{2} - \cot a + \cot a - \cot 2a\\ {\rm{ }} + ... + \cot {2^{2017}}a - \cot {2^{2018}}a\\ = \cot \frac{a}{2} - \cot {2^{2018}}a \end{array}\)

Đáp án B

Bài 5: Thu gọn biểu thức: \(S = \cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha + ... + \cos \left( {2n - 1} \right)\alpha \) với \(\alpha \ne k\pi \) A. \(\frac{{\sin 2n\alpha }}{{2\sin \alpha }}\) B. \(\frac{{\sin n\alpha }}{{\sin \alpha }}\) C. \(\frac{{\cos 2n\alpha }}{{2\cos \alpha }}\) D. \(\frac{{\cos n\alpha }}{{\cos \alpha }}\)

Lời giải

\(\begin{array}{l} 2S\sin \alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha + 2\sin \alpha \cos 3\alpha \\ {\rm{ + }}...{\rm{ + }}2\sin \alpha \cos \left( {2n - 1} \right)\alpha \\ = \sin 2\alpha + \sin \left( { - 2\alpha } \right) + \sin 4\alpha \\ + \sin \left( { - 4\alpha } \right) + \sin 6\alpha \\ + ... + \sin \left( {2\alpha - 2n\alpha } \right) + \sin \left( {2n\alpha } \right)\\ = \sin 2n\alpha \\ \Rightarrow S = \frac{{\sin 2n\alpha }}{{2\sin \alpha }} \end{array}\)

Đáp án A

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về Công thức nhân đôi, nhân ba Toán 10. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!