Lý thuyết và bài tập về Công thức cộng Toán 10

\(\cos \left( a+b \right)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\)

\(\cos \left( a-b \right)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\)

\(\sin \left( a+b \right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\)

\(\sin \left( a-b \right)=\sin a\cos b-\cos a\sin b\)

\(\tan \left( a+b \right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}\)

\(\tan \left( a-b \right)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}\)

\(\cot \left( a+b \right)=\frac{\cot a\cot b-1}{\cot b+\cot a}\)

\(\cot \left( a-b \right)=\frac{\cot a\cot b-1}{\cot b-\cot a}\)

Ví dụ: Giá trị của biểu thức \(A=\sin \left( \frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4} \right)\) là: A. \(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) B. \(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\) C. \(\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) D. \(\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)

Lời giải

\(\sin \left( \frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4} \right)=\sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)

Đáp án A.

Bài 1: Cho \(\cos \alpha =\frac{1}{3}\). Khi đó giá trị biểu thức \(B=\sin \left( \alpha -\frac{\pi }{4} \right)-\cos \left( \alpha -\frac{\pi }{4} \right)\) là: A. \(\frac{\sqrt{2}}{3}\) B. \(\frac{-\sqrt{2}}{3}\) C. \(\frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{3}\) D. \(\frac{-2\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{3}\)

Lời giải

\(\sin \left( \alpha -\frac{\pi }{4} \right)=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{4}-\cos \alpha \sin \frac{\pi }{4}\)

\(\cos \left( \alpha -\frac{\pi }{4} \right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{4}+\sin \alpha \sin \frac{\pi }{4}\)

Khi đó \(B=\sin \alpha \left( \cos \frac{\pi }{4}-\sin \frac{\pi }{4} \right)-\cos \alpha \left( \sin \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{4} \right)=0-\frac{1}{3}.\sqrt{2}=\frac{-\sqrt{2}}{3}\).

Đáp án B.

Bài 2: Biểu thức \(A=\sin \alpha +\sqrt{3}\cos \alpha \) không thể nhận giá trị nào sau đây? A. 1 B. \(\sqrt{3}\) C. \(2\sqrt{3}\) D. -2

Lời giải

\(A=\sin \alpha +\sqrt{3}\cos \alpha =2\left( \sin \alpha .\frac{1}{2}+\cos \alpha .\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\)

\(2\left( \sin \alpha .\cos \frac{\pi }{3}+\cos \alpha .\sin \frac{\pi }{3} \right)=2\sin \left( \alpha +\frac{\pi }{3} \right)\)

\(\Rightarrow -2\le A\le 2\) (\(\forall \alpha \))

Đáp án C.

Bài 3: Cho \(\Delta ABC\), trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào không đúng? A. \(\sin \frac{A}{2}=\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}-\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\) B. \(\frac{{{\tan }^{2}}A-{{\tan }^{2}}B}{1-{{\tan }^{2}}A{{\tan }^{2}}B}=-\tan \left( A-B \right)\tan C\) C. \(\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A=1\) D. \({{\sin }^{2}}\frac{A}{2}+{{\sin }^{2}}\frac{B}{2}+{{\sin }^{2}}\frac{C}{2}=2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\)

Lời giải

+ \(\sin \frac{A}{2}=\cos \left( \frac{\pi }{2}-\frac{A}{2} \right)=\cos \left( \frac{B+C}{2} \right)=\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}-\sin \frac{B}{2}\sin \frac{c}{2}\)

+ \(\frac{{{\tan }^{2}}A-{{\tan }^{2}}B}{1-{{\tan }^{2}}A{{\tan }^{2}}B}=\tan \left( A+B \right)\tan \left( A-B \right)\)

\(=-\tan \left( A-B \right)\tan \left( \pi -A-B \right)=-\tan \left( A-B \right)\tan C\)

+ \(\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A\)

Có \(\cot C=\cot \left( \pi -A-B \right)=-\cot \left( A+B \right)=\frac{1-\cot A\cot B}{\cot A+\cot B}\)

\(\Rightarrow \cot A\cot B+\cot C\left( \cot A+\cot B \right)=\cot A\cot B+1-\cot A\cot B\)

Vậy D sai.

Đáp án D.

Bài 4: Cho \(\alpha -\beta =\frac{\pi }{6}\). Tính giá trị: \(P=\frac{{{\left( \cos \alpha +\cos \beta  \right)}^{2}}+{{\left( \sin \alpha +\sin \beta  \right)}^{2}}}{{{\left( \sin \alpha -\cos \beta  \right)}^{2}}+{{\left( \sin \beta +\cos \alpha  \right)}^{2}}}\). A. \(P=2-\sqrt{3}\) B. \(P=2+\sqrt{3}\) C. \(P=3+\sqrt{2}\) D. \(P=3-\sqrt{2}\)

Lời giải

\(P=\frac{2+2\left( \cos \alpha \cos \beta +sin\alpha sin\beta  \right)}{\left( \sin \alpha \cos \beta -\sin \beta \cos \alpha  \right)}\)

\(=\frac{2+2\cos \left( \alpha +\beta  \right)}{2-2\sin \left( \alpha -\beta  \right)}\)

\(P=\frac{2+2\cos \frac{\pi }{6}}{2-2\sin \frac{\pi }{6}}=2+\sqrt{3}\)

Đáp án B

Bài 5: Rút gọn biểu thức: \(A=4\sin x\sin \left( \frac{\pi }{3}-x \right)\sin \left( \frac{\pi }{3}+x \right)\) ta được kết quả bằng: A. -sin x B. sin 3x C. sin x D. -sin 3x

Lời giải

\(\begin{align} & A=4\sin x.\frac{1}{2}\left( \cos 2x-\cos \frac{2\pi }{3} \right) \\ & =2\sin x\cos 2x+\sin x \\ & =3\sin x-4{{\sin }^{3}}x=\sin 3x \\ \end{align}\)

Đáp án B

Bài 6: Cho \(\sin \left( 2a+b \right)=5\sin b\). Khi đó giá trị \(\frac{2\tan \left( a+b \right)}{\tan a}\) là: A. 1 B. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) C. \(\sqrt{3}\) D. 3

Lời giải

Ta có:

\(\frac{\tan \left( a+b \right)}{\tan a}=\frac{ain\left( a+b \right)\cos a}{\cos \left( a+b \right)\sin a}\)

\(=\frac{\frac{1}{2}\left[ \sin \left( 2a+b \right)+\sin b \right]}{\frac{1}{2}\left[ \sin \left( 2a+b \right)+\sin \left( -b \right) \right]}\)

\(=\frac{\frac{1}{2}.6\sin b}{\frac{1}{2}.4\sin b}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{2\tan \left( a+b \right)}{\tan a}=3\)

Đáp án D

Bài 7: Cho \(\Delta ABC\) có: \(\frac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B}=\frac{1}{2}\left( \tan A+\tan B \right)\). Khi đó \(\Delta ABC\) là: A. tam giác vuông B. tam giác cân C. tam giác nhọn D. tam giác tù

Lời giải

\(\begin{align} & \tan A+\tan B \\ & =\frac{\sin A\cos B+\sin B\cos A}{\cos A\cos B} \\ & \text{=2}\frac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B} \\ \end{align}\)

Giả thiết \(\Leftrightarrow \frac{\sin \left( A+B \right)}{\cos A\cos B}=2\cot \frac{C}{2}\)

\(\Leftrightarrow \frac{2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}}{\cos A\cos B}=\frac{2\cos \frac{C}{2}}{\sin \frac{C}{2}}\)

\(\begin{align} & \Leftrightarrow {{\sin }^{2}}\frac{C}{2}=\cos A\cos B \\ & \Leftrightarrow 1-\cos C=2\cos A\cos B \\ \end{align}\)

\(\Leftrightarrow 1+\cos \left( A+B \right)=2\cos A\cos B\)

\(\begin{align} & \Leftrightarrow 1-\cos A\cos B-\sin A\sin B \\ & \text{ =2}\cos A\cos B \\ & \Leftrightarrow \cos A\cos B+\sin AsinB=1 \\ & \Leftrightarrow \cos \left( A-B \right)\Leftrightarrow A=B \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow \Delta ABC\) cân tại C

Đáp án B

Bài 8: Nếu \(\tan \alpha \) và \(\tan \beta \) là hai nghiệm của phương trình \({{x}^{2}}+px+q=0\) (\(q\ne 1\)) thì \(\tan \left( \alpha +\beta  \right)\) bằng A. \(\frac{p}{q-1}\) B. \(-\frac{p}{q-1}\) C. \(\frac{2p}{1-q}\) D. \(-\frac{2p}{1-q}\)

Lời giải

Vì \(\tan \alpha ,\tan \beta \) là hai nghiệm của phương trình \({{x}^{2}}+px+q=0\) nên theo định lí Viet, ta có

\(\left\{ \begin{align} & \tan \alpha +\tan \beta =-p \\ & \tan \alpha .\tan \beta =q \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \tan \left( \alpha +\beta  \right)=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }=\frac{p}{q-1}\)

Đáp án A

 

Trên đây là toàn bộ nội dung Lý thuyết và bài tập về Công thức cộng Toán 10. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!