Lý thuyết và bài tập về Công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng Toán 10

1. Công thức biến đổi tổng thành tích

\(\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\)

\(\cos a-\cos a=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\)

\(\sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\)

\(\sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\)

\(\tan a+\tan b=\frac{\sin \left( a+b \right)}{\cos a\cos b}\)

\(\tan a-\tan b=\frac{\sin \left( a-b \right)}{\cos a\cos b}\)

\(\cot a+\cot b=\frac{\sin \left( a+b \right)}{\sin a\sin b}\)

\(\cot a-\cot b=\frac{\sin \left( b-a \right)}{\sin a\sin b}\) 

2. Công thức biến đổi tích thành tổng

\(\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[ \sin \left( a-b \right)+\sin \left( a+b \right) \right]\)

\(\sin a\sin b=\frac{1}{2}\left[ \cos \left( a-b \right)-\cos \left( a+b \right) \right]\)

\(\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[ \cos \left( a-b \right)+\cos \left( a+b \right) \right]\)

Ví dụ: Biểu thức thu gọn của biểu thức \(A=\frac{\sin a+\sin 3a+\sin 5a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a}\) là: A. \(\sin 3a\) B. \(\cos 3a\) C. \(\tan 3a\) D. \(1-\tan 3a\)

Lời giải

\(A=\frac{\sin a+\sin 3a+\sin 5a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a}=\frac{\left( \sin a+\sin 5a \right)+\sin 3a}{\left( \cos a+\cos 5a \right)+\cos 3a}\)

\(=\frac{2\sin 3a\cos 2a+\sin 3a}{2\cos 3a\cos 2a+\cos 3a}=\frac{\sin 3a\left( 2\cos 2a+1 \right)}{\cos 3a\left( 2\cos 2a+1 \right)}=\tan 3a\).

Đáp án C.

Bài 1: Biểu thức nào sau đây phụ thuộc vào biến x? A. \(\cos x + \cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {x + \frac{{4\pi }}{3}} \right)\) B. \(\sin x + \sin \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + \sin \left( {x + \frac{{4\pi }}{3}} \right)\) C. \({\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + {\cos ^2}\left( {x + \frac{{4\pi }}{3}} \right)\) D. \({\sin ^2}x + {\sin ^2}\left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + {\sin ^2}\left( {x - \frac{{4\pi }}{3}} \right)\)

Lời giải

+)  \(\sin x + \sin \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + \sin \left( {x + \frac{{4\pi }}{3}} \right)\)

\( = \sin x + \sin \left( {x + \frac{{4\pi }}{3}} \right) + \sin \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\)

\( = 2\sin \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\cos \frac{{2\pi }}{3} + \sin \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\)

\(= \sin \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\left( {2\cos \frac{{2\pi }}{3} + 1} \right) = 0\)

+) \({\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + {\cos ^2}\left( {x + \frac{{4\pi }}{3}} \right)\)

\( = \frac{{\cos 2x + 1}}{2} + \frac{{\cos \left( {2x + \frac{{4\pi }}{3}} \right) + 1}}{2} + \frac{{\cos \left( {2x + \frac{{8\pi }}{3}} \right) + 1}}{2}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\left[ {\cos 2x + \cos \left( {2x + \frac{{8\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {2x + \frac{{4\pi }}{3}} \right)} \right]\\ = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\left[ {2\cos \left( {2x + \frac{{4\pi }}{3}} \right)\cos \frac{{4\pi }}{3} + \cos \left( {2x + \frac{{4\pi }}{3}} \right)} \right] = \frac{3}{2} \end{array}\)

+) \(\cos x + \cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {x + \frac{{4\pi }}{3}} \right)\)

\( = 2\cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\cos \frac{{2\pi }}{3} + \cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0\)

Đáp án D.

Bài 2: Giá trị của tổng \(S = \frac{1}{{\cos a\cos 2a}} + \frac{1}{{\cos 2a\cos 3a}} + ... + \frac{1}{{\cos \left( {na} \right)\cos \left[ {\left( {n + 1} \right)a} \right]}}\) khi \(a = \frac{\pi }{{n + 1}}\) là: A. \(\frac{{ - 1}}{{\cos \frac{\pi }{{n + 1}}}}\) B. \(\frac{{ - 1}}{{\cos \frac{\pi }{n}}}\) C. \( - 1 - \cos \frac{\pi }{{n + 1}}\) D. \( - 1 - \cos \frac{\pi }{n}\)

Lời giải

Ta có:

\(S.\sin a = \frac{{\sin \left( {2a - a} \right)}}{{\cos a.\cos 2a}} + \frac{{\sin \left( {3a - 2a} \right)}}{{\cos 2a.\cos 3a}} + ... + \frac{{\sin \left[ {\left( {n + 1} \right)a - na} \right]}}{{\cos \left( {na} \right)\cos \left[ {\left( {n + 1} \right)a} \right]}}\)

\(= \tan 2a - \tan a + \tan 3a - \tan 2a + ... + \tan a\left( {n + 1} \right) - \tan \left( {na} \right)\)

\( = \tan \left( {n + 1} \right)a - \tan a = \tan \pi - \tan a = - \tan a\)

\( \Rightarrow S = \frac{{ - \tan a}}{{\sin a}} = \frac{{ - 1}}{{\cos a}} = \frac{{ - 1}}{{\cos \frac{\pi }{{n + 1}}}}\)

Đáp án A.

Bài 3: Rút gọn biểu thức: \(A = 4\sin x\sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\) ta được kết quả bằng: A. \( - \sin x\) B. sin3x C. sinx D. -sin3x

Lời giải

\(\begin{array}{l} A = 4\sin x.\frac{1}{2}\left( {\cos 2x - \cos \frac{{2\pi }}{3}} \right)\\ = 2\sin x\cos 2x + \sin x\\ = 3\sin x - 4{\sin ^3}x = \sin 3x \end{array}\)

Đáp án B

Bài 4: Thu gọn biểu thức: \(S = \cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha + ... + \cos \left( {2n - 1} \right)\alpha \) với \(\alpha \ne k\pi \) A. \(\frac{{\sin 2n\alpha }}{{2\sin \alpha }}\) B. \(\frac{{\sin n\alpha }}{{\sin \alpha }}\) C. \(\frac{{\cos 2n\alpha }}{{2\cos \alpha }}\) D. \(\frac{{\cos n\alpha }}{{\cos \alpha }}\)

Lời giải

\(\begin{array}{l} 2S\sin \alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha + 2\sin \alpha \cos 3\alpha \\ {\rm{ + }}...{\rm{ + }}2\sin \alpha \cos \left( {2n - 1} \right)\alpha \\ = \sin 2\alpha + \sin \left( { - 2\alpha } \right) + \sin 4\alpha \\ + \sin \left( { - 4\alpha } \right) + \sin 6\alpha \\ + ... + \sin \left( {2\alpha - 2n\alpha } \right) + \sin \left( {2n\alpha } \right)\\ = \sin 2n\alpha \\ \Rightarrow S = \frac{{\sin 2n\alpha }}{{2\sin \alpha }} \end{array}\)

Đáp án A

Bài 5: Cho \(\cos 15^\circ = t\). Khi đó biểu thức \(\sin \frac{{5\pi }}{{12}}.\sin \frac{{7\pi }}{{12}}\) là: A. \(t\sqrt {1 - {t^2}} \) B. t2 C. \(\sqrt {{t^4} - 1} \) D. \(- t\sqrt {1 - {t^2}} \)

Lời giải

\(\begin{array}{l} t = \cos 15^\circ = \cos \frac{\pi }{{12}}.\sin \frac{{5\pi }}{{12}} = \sin \frac{{7\pi }}{{12}}\\ \Rightarrow \sin \frac{{5\pi }}{{12}}.\sin \frac{{7\pi }}{{12}} = {t^2} \end{array}\)

Đáp án B

Bài 6: Giá trị biểu thức: \(A = \cos \frac{\pi }{{2n + 1}}.\cos \frac{{2\pi }}{{2n + 1}}...\cos \frac{{n\pi }}{{2n + 1}}\) với n = 2018 là: A. \(\frac{1}{{4036}}\) B. \(\frac{1}{{{2^{2018}}}}\) C. \(\frac{1}{2}\) D. \(\frac{1}{{2018}}\)

Lời giải

Ta sử dụng cách thử bằng máy tính. Thông thường những biểu thức này thường có công thức tổng quát. Khi đó công thức đúng \(\forall n\). Vì vậy có thể thử với n = 1;2;3;4;...

\(\begin{array}{l} n = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2} = \frac{1}{{{2^1}}};\\ n = 2 \Rightarrow A = \frac{1}{4} = \frac{1}{{{2^2}}};\\ n = 3 \Rightarrow A = \frac{1}{8} = \frac{1}{{{2^3}}};\\ n = 4 \Rightarrow A = \frac{1}{{16}} = \frac{1}{{{2^4}}} \end{array}\)

CTTQ là: \(A = \frac{1}{{{2^n}}}\)

Vậy với n = 2018 thì \(A = \frac{1}{{{2^{2018}}}}\)

Đáp án B

Bài 7: Giá trị của biểu thức \(\cos 15^\circ .\cos 45^\circ .\cos 75^\circ \) là: A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{{10}}\) B. \(\frac{{\sqrt 2 }}{4}\) C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) D. \(\frac{{\sqrt 2 }}{8}\)

Lời giải

\(\begin{array}{l} \cos 15^\circ .\cos 45^\circ .\cos 75^\circ \\ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\cos 15^\circ .\cos 75^\circ \\ = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {\cos 60^\circ + \cos 90^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{4}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{8} \end{array}\)

Đáp án D

Trên đây là toàn bộ đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về Công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng Toán 10. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!