Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 4 Bài 1 Số phức

Cho các số phức: 2+3i; 1+2i; 2–i

a) Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng phức.

b) Viết số phức liên hợp của mỗi số đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức.

c) Viết số đối của mỗi số phức đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Các điểm A, B, C lần lượt biểu diễn các số phức 1+2i;2+3i;2–i

Câu b:

Số phức liên hợp của 2+3i là: 2−3i

Số phức liên hợp của 1+2i là: 1−2i

Số phức liên hợp của 2−i là: 2+I

Các điểm M, N, P lần lượt biểu diễn các số phức:  2−3i,1−2, 2+i

Câu c:

Các số đối của 2+3i;1+2i và 2–i lần lượt là: −2–3i;−1–2i và −2+i được biểu diễn bởi các điểm: P, Q, R.

---

Xác định phần thực và phần thực của các số sau:

\(\begin{array}{l}
a)i + \left( {2 - 4i} \right) - \left( {3 - 2i} \right)\\
b){(\sqrt {2 + 3i} )^2}\\
c)\left( {2 + 3i} \right)\left( {2 - 3i} \right)\\
d)i\left( {2 - i} \right)\left( {3 + i} \right)
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có i+(2−4i)−(3−2i)=i+2−4i−3+2i=−1−i có phần thực bằng −1; phần ảo bằng −1.

Câu b:

\({(\sqrt {2 + 3i} )^2} = 2 + 6\sqrt 2 i + 9{i^2} =  - 7 + 6\sqrt 2 i\) ó phần thực bằng −7, phần ảo bằng \(6\sqrt 2 \)

Câu c:

(2+3i)(2−3i)=4−9i²=4+9=13 có phần thực bằng 13, phần ảo bằng 0

Câu d:

i(2−i)(3+i)=(2i+1)(3+i)=6i+2i²+3+i=1+7i có phần thực bằng 1, phần ảo bằng 7

---

Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.

Hướng dẫn giải:

Điểm A biểu diễn số i

F có tọa độ \(\left( {\cos \frac{\pi }{6};\sin \frac{\pi }{6}} \right) = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2}} \right)\) nên F biểu diễn số phức \({\frac{{\sqrt 3 }}{2}+\frac{1}{2}i}\)

E đối xứng với F qua Ox nên E biểu diễn số phức \({\frac{{\sqrt 3 }}{2}-\frac{1}{2}i}\)

B đối xứng với E qua O nên B biểu diễn số \({ - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i}\)

C đối xứng với F qua O nên C biểu diễn số phức \({ - \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i}\)

D đối xứng với A qua O nên D biểu diễn số phức –i

---

Thực hiện phép tính: \(\frac{1}{{2 - 3i}};\frac{1}{{\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}};\frac{{3 - 2i}}{i};\frac{{3 - 4i}}{{4 - i}}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{2 - 3i}} = \frac{{2 + 3i}}{{4 - 9{i^2}}} = \frac{2}{{13}} + \frac{3}{{13}}i\\
\frac{1}{{\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}} = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}}{{\frac{1}{4} - {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^2}}} = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}}{1} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\\
\frac{{3 - 2i}}{i} = \frac{{i(3 - 2i)}}{{{i^2}}} =  - i(3 - 2i) =  - 3i + 2{i^2} =  - 2 - 3i\\
\frac{{3 - 4i}}{{4 - i}} = \frac{{(3 - 4i)(4 + i)}}{{17}} = \frac{{16 - 13i}}{{17}} = \frac{{16}}{{17}} - \frac{{13}}{{17}}i.
\end{array}\)

---

Cho \(z = \frac{{ - 1}}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.\)

Hãy tính \(\frac{1}{z};\overline z ;{z^2};{\left( {\overline z } \right)^3};1 + z + {z^2}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(|z| = \sqrt {{{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}  = 1\)

Nên: \(\frac{1}{z} = \frac{{\overline z }}{{|z{|^2}}} = \overline z  =  - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)

\(\begin{array}{l}
{z^2} = {\left( { - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^2} = \frac{1}{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i - \frac{3}{4} =  - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\\
{\left( {\overline z } \right)^3} = \overline z {\left( {\overline z } \right)^2} = \left( { - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right).{\left( { - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^2}\\
 = \left( { - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right).\left( { - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^2}\\
 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1\\
1 + z + {z^2} = 1 + \left( { - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) + \left( { - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 0
\end{array}\)

---

Chứng minh rằng:

a) Phần thực của số phức z bằng \(\frac{1}{2}\left( {z + \bar z} \right)\) phần ảo của số phức z bằng \(\frac{1}{2}\left( {z - \bar z} \right)\)

b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi \(z =  - \bar z;\)

c) Với mọi số phức z, z', ta có \(\overline {z + z'}  = \bar z + \overline {z'} , \overline {zz'}  = \bar z.\overline {z'} \) và nếu z ≠ 0 thì \(\frac{{\overline {z'} }}{{\bar z}} = \overline {\left( {\frac{{z'}}{z}} \right)} \)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Giả sử z = a + bi (a, b ∈ R) thì \(\bar z = a - bi\)

Từ đó suy ra \(a = \frac{1}{2}\left( {z + \bar z} \right);b = \frac{1}{{2i}}\left( {z - \bar z} \right)\)

Câu b:

z là số ảo khi và chỉ khi phần thực của z bằng 0

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {z + \bar z} \right) = 0 \Leftrightarrow z =  - \bar z\)

Câu c:

Giả sử z=a+bi; z′=a′+b′i (a, b , a′, b′ ∈ R)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\overline {z + z'}  = \overline {\left( {a + a'} \right) + \left( {b + b'} \right)i}  = a + a' - \left( {b + b'} \right)i\\
 = a - bi + a' - b'i = \overline z  + \overline {z'} 
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\overline {z.z'}  = \overline {\left( {a + bi} \right)\left( {a' + b'i} \right)}  = \overline {\left( {aa' - bb'} \right) + \left( {ab' + a'b} \right)i} \\
 = aa' - bb' - \left( {ab' + a'b} \right)i\\
 = \left( {a - bi} \right)\left( {a' - b'i} \right) = \overline z .\overline {z'} 
\end{array}\)

\(\overline {\left( {\frac{{z'}}{z}} \right)}  = \overline {\left( {\frac{{z'.\overline z }}{{z.\overline z }}} \right)}  = \frac{1}{{z.\overline z }}.\overline {z'} .\overline z  = \frac{1}{{z.\overline {z'} }}.\overline {z'} .z = \frac{{\overline {z'} }}{{\overline z }}\)

---

Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có

\({i^{4m}} = 1;{i^{4m + 1}} = i;{i^{4m + 2}} =  - 1;{i^{4m + 3}} =  - i\)

Hướng dẫn giải:

Vì \({i^4} = {\left( {{i^2}} \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\) với mọi m nguyên dương

Từ đó suy ra: 

\(\begin{array}{l}
{i^{4m + 1}} = {i^{4m}}.i = i\\
{i^{4m + 2}} = {i^{4m}}.{i^2} =  - 1\\
{i^{4m + 3}} = {i^{4m}}.{i^3} =  - i
\end{array}\)

---

Chứng minh rằng

a) Nếu vecto \(\vec u\) của mạt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ \(\vec u\) là |\(\vec u\)| = |z|, và từ đó nếu các điểm A₁, A₂ theo thứ tự biểu diễn các số phức z₁; z₂ thì \(\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = |{z_2} - {z_1}|\)

b) Với mọi số phức z, z', ta có |zz′| = |z||z′| và khi z ≠ 0 thì \(\left| {\frac{{z'}}{z}} \right| = \frac{{|z'|}}{{|z|}}\)

c) Với mọi số phức z, z', ta có |z+z′| ≤ |z| + |z′|.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Nếu z = a + bi (a, b ∈ R) thì \(|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

\(\vec u\) biểu diễn số phức z thì \(\vec u\) = (a; b) và |\(\vec u\)| = \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) do đó |\(\vec u\)| = |z|

Nếu A1, A2 theo thứ tự biểu diễn các số phức z1; z2 thì \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}}  = \overrightarrow {O{A_2}}  - \overrightarrow {O{A_1}} \) biểu diễn z₂ - z₁ nên \(\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = |{z_2} - {z_1}|\)

Câu b:

\(z = a + bi;z\prime  = a\prime  + b\prime i\) thì \(|z{|^2} = {a^2} + {b^2};|z'{|^2} = {a^{\prime 2}} + {b^{\prime 2}}\) nên 

\(\begin{array}{l}
|z.z\prime {|^2} = {(aa\prime  - bb\prime )^2} + {(ab\prime  + a\prime b)^2} = {(aa\prime )^2} + {(bb\prime )^2} + {(ab\prime )^2} + {(a\prime b)^2}\\
 = ({a^2} + {b^2})(a{\prime ^2} + b{\prime ^2}) = |z{|^2}.|z\prime {|^2}\\
 \Rightarrow |zz\prime | = |z|.|z\prime |
\end{array}\)

Khi z ≠ 0 ta có:

\(\begin{array}{l}
\left| {\frac{{z'}}{z}} \right| = \left| {\frac{{z'.\overline z }}{{|z{|^2}}}} \right| = \frac{1}{{|z{|^2}}}.|z'.\overline z |\\
 = \frac{1}{{|z{|^2}}}|z'|.|\overline z | = \frac{1}{{|z{|^2}}}|z'|.|z| = \frac{{|z'|}}{{|z|}}
\end{array}\)

Câu c:

Giả sử  \(\vec u\) biểu diễn z và \(\vec u'\) biểu diễn z' thì  \(\vec u\) +  \(\vec u'\) biểu diễn z + z'.

Ta có: 

\(|\overrightarrow u  + \overrightarrow {u'} | = |z + z'|;|\overrightarrow u | = |z|;|\overrightarrow {u'} | = |z'|\)

Mà \(|\overrightarrow u  + \overrightarrow v | \le |\overrightarrow u | + |\overrightarrow v |\) nên \(|z + z'| \le |z| + |z'|\)

Dâu "=" xảy ra khi z = 0 hoặc z ' = 0

---

Xác định tập hợp câc điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) |z - i| = 1

b) \(\left| {\frac{{z - i}}{{z + i}}} \right| = 1\)

c) \(|z| = \mid \overline z  - 3 + 4i\mid \)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Giả sử  khi đó z − i = x + (y − 1)ivà |z−i| = 1

\( \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\)

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0, 1) bán kính 1

Câu b:

Giả sử

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left| {\frac{{z - i}}{{z + i}}} \right| = 1 \Leftrightarrow |z - i| = |z + i| \Leftrightarrow |x + (y - 1)i| = |x + (y + 1)i|\\
 \Leftrightarrow {x^2} + {(y - 1)^2} = {x^2} + {(y + 1)^2} \Leftrightarrow y = 0
\end{array}\)

<=> z là số thực 

Tập hợp M là trục thực Ox

Câu c:

\(\begin{array}{l}
\left| z \right| = \left| {\bar z - 3 + 4i} \right| \Leftrightarrow \left| {x + yi} \right| = \left| {x - yi - 3 + 4i} \right|\\
 \Leftrightarrow \left| {x + yi} \right| = \left| {\left( {x - 3} \right) + \left( {4 - y} \right)i} \right| \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {4 - y} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow 6x + 8y = 25
\end{array}\)

Tập hợp M là đường thẳng có phương trình: 6x + 8y = 25

---

Chứng minh rằng với mọi số phức z ≠ 1, ta có: \(1 + z + {z^2} + ... + {z^9} = \frac{{{z^{10}} - 1}}{{z - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\left( {1 + z + {z^2} + ... + {z^9}} \right)\left( {z - 1} \right) = 1 + z + {z^2} + ... + {z^{10}} - \left( {1 + z + {z^2} + ... + {z^9}} \right) = {z^{10}} - 1\)

Vì z ≠ 1 nên chia hai vế cho z − 1 ta được: \(1 + z + {z^2} + ... + {z^9} = \frac{{{z^{10}} - 1}}{{z - 1}}\)

---

Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định)?

\({z^2} + {\left( {\bar z} \right)^2};\frac{{z - \bar z}}{{{z^3} + {{\left( {\bar z} \right)}^3}}};\frac{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}}}{{1 + z.\overline z }}\)

Hướng dẫn giải:

* Ta có: \(\overline {{z^2} + {{\left( {\bar z} \right)}^2}}  = \overline {{z^2}}  + \overline {{{\left( {\bar z} \right)}^2}}  = {\left( {\overline z } \right)^2} + {\left( {\overline {\overline z } } \right)^2} = {\left( {\overline z } \right)^2} + {z^2}\)

\( \Rightarrow {z^2} + {\left( {\bar z} \right)^2}\) là số thực 

* \(\overline {\left( {\frac{{z - \bar z}}{{{z^3} + {{\left( {\bar z} \right)}^3}}}} \right)}  = \frac{{\bar z - {z^2}}}{{1 + \bar zz}} =  - \frac{{{z^2} - {{\left( {\bar z} \right)}^2}}}{{1 + \bar zz}} \Rightarrow \frac{{z - \bar z}}{{{z^3} + {{\left( {\bar z} \right)}^3}}}\) là số ảo

* \(\overline {\frac{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}}}{{1 + z.\overline z }}}  = \frac{{{{\left( {\overline z } \right)}^2} - {z^2}}}{{1 + z.\overline z }} =  - \frac{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}}}{{1 + z.\overline z }} \Rightarrow \frac{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}}}{{1 + z.\overline z }}\) là số ảo

---

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) z² là số thực âm;

b) z² là là số ảo;

c) \({z^2} = {\left( {\bar z} \right)^2}\)

d) \(\frac{1}{{z - i}}\) là số ảo

Hướng dẫn giải:

Giả sử z = x + yi

Câu a:

z² là số thực âm \(\left\{ \begin{array}{l}
xy = 0\\
{x^2} - {y^2} < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y \ne 0
\end{array} \right.\)

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là trục Oy trừ điểm O

Câu b:

\({z^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi\)

z² là là số ảo \( \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} = 0 \Leftrightarrow x = y\) hoặc y = x

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hai đường phân giác của các gốc tọa độ.

Câu c:

Ta có: \({z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = {x^2} - {y^2} - 2xyi \Leftrightarrow xy = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 0
\end{array} \right.\)

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là các trục tọa độ.

Câu d:

 \(\frac{1}{{z - i}}\) là số ảo <=> z - i là số ảo và z ≠ i <=> z là số ảo khác i.

Vậy tập hợp các điểm cầm tìm là trục ảo trừ điểm I(0; 1) biểu diễn số i

---

Giải các phương trình sau (với ẩn z)

a) iz + 2 − i = 0                               

b) (2 + 3i)z = z − 1

c) \(\left( {2 - i} \right)\bar z - 4 = 0\)                 

d) \(\left( {iz - 1} \right)\left( {z + 3i} \right)\left( {\bar z - 2 + 3i} \right) = 0\)

e) z² + 4 = 0

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(iz + 2 - i = 0 \Leftrightarrow iz = i - 2 \Leftrightarrow z =  - 2 + ii = \frac{{( - 2 + i)i}}{{ - 1}} \Leftrightarrow z = 1 + 2i\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
(2 + 3i)z = z - 1 \Leftrightarrow (1 + 3i)z =  - 1\\
 \Leftrightarrow z = \frac{{ - 1}}{{1 + 3i}} = \frac{{ - 1 + 3i}}{{(1 + 3i)(1 - 3i)}} = \frac{{ - 1 + 3i}}{{10}} =  - \frac{1}{{10}} + \frac{3}{{10}}i
\end{array}\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
\left( {2 - i} \right)\bar z - 4 = 0 \Leftrightarrow (2 + i)z = 4\\
 \Leftrightarrow z = \frac{4}{{2 + i}} = \frac{{4\left( {2 - i} \right)}}{5}\\
 \Leftrightarrow z = \frac{8}{5} - \frac{4}{5}i
\end{array}\)

Câu d:

\(\left( {iz - 1} \right)\left( {z + 3i} \right)\left( {\bar z - 2 + 3i} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
iz - 1 = 0\\
z + 3i = 0\\
\bar z - 2 + 3i = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = \frac{1}{i} =  - i\\
z =  - 3i\\
z = 2 + 3i
\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm phương trình là S = {−i, −3i, 2+3i}

Câu e: 

\({z^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow {z^2} - 4{i^2} = 0 \Leftrightarrow (z - 2i)(z + 2i) = 0 \Leftrightarrow z = 2i\) hoặc z = -2i

Vậy S = {2i; -2i}

---

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

a) Cho số phức z = x + yi. Khi z ≠ i, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\)

b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\) là số thực dương.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\frac{{z + i}}{{z - i}} = \frac{{x + (y + 1)i}}{{x + (y - 1)i}} = \frac{{[x + (y + 1)i][x - (y - 1)i]}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}\\
 = \frac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}} + \frac{{2x}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}i
\end{array}\)

Vậy phần thực là \(\frac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}\), phần ảo là \(\frac{{2x}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}\)

Câu b:

Với z khác i, \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\) là số thực dương khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} + {y^2} - 1 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
{y^2} > 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
\left[ \begin{array}{l}
y > 1\\
y <  - 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

Vậy quỹ tích là trục ảo bỏ đoạn thẳng nối I,J (I biểu diễn i và J biểu diễn −i).

---

a) Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức z₁, z₂, z₃. Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào?

b) Xét ba điểm A,B,C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt z₁, z₂, z₃  thỏa mãn |z₁| = |z₂| = |z₃|

Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi z₁ + z₂ + z₃ = 0

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Trong mặt phẳng phức gốc O,G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi

\(\overrightarrow {OG}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right)\) 

Vậy G biểu diễn số phức \(\frac{1}{3}({z_1} + {z_2} + {z_3})\) vì \({\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} }\) theo thứ tự biểu diễn  z1, z2, z3

Câu b:

Ba điểm A, B, C thuộc đường tròn tâm tại gốc tọa độ O nên tam giác ABClà tam giác đều khi và chỉ khi trọng tâm G của nó trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp, tức là G ≡ O hay z1 + z2 + z3 = 0

---

Đố vui. Trong mặt phẳng phức cho các điểm: O (gốc tọa độ), A biểu diễn  số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A' biểu diễn số phức z′ ≠ 0 và B' biểu diễn số phức zz'.

Hai tam giác OAB, OA'B' có phải là hai tam giác dồng dạng không?

Hướng dẫn giải: