ON
ADMICRO

Giải Toán 10 SGK nâng cao Ôn tập Chương 6

VIDEO_3D

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài tập Toán 10 nâng cao Ôn tập Chương 6 được hoc247 biên soạn và tổng hợp, nội dung bám sát theo chương trình SGK Đại số 10 nâng cao giúp các em học sinh nắm vững phương pháp giải bài tập và ôn tập kiến thức hiệu quả hơn. 

 
 
VDO.AI

Bài 55 trang 217 SGK Toán 10 nâng cao

Hỏi các đẳng thức sau có đúng với mọi số nguyên k không?

\(\begin{array}{l}
a)\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) = {\left( { - 1} \right)^k}\\
b)\cos \left( {k\pi } \right) = {\left( { - 1} \right)^k}\\
c)\tan \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}} \right) = {\left( { - 1} \right)^k}\\
d)\sin \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}} \right) = {\left( { - 1} \right)^k}\frac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đúng, thử với k chẵn và k lẻ

Câu b:

Đúng, thử với k chẵn và k lẻ

Câu c:

Đúng, thử với k = 0, 1, 2, 3

Câu b:

Sai, khi k = 1, vế trái là \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\), vế phải là \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)


Bài 56 trang 218 SGK Toán 10 nâng cao

Tính 

a) \(\sin \alpha ,\cos 2\alpha ,\sin 2\alpha ,\cos \frac{\alpha }{2},\sin \frac{\alpha }{2}\) biết \(\cos \alpha  = \frac{4}{5}\) và \( - \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0\)

b) \(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right)\) biết \(\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha  =  - \frac{9}{{11}}\\
\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}
\end{array} \right.\)

c) \({\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha \) biết \(\cos 2\alpha  = \frac{3}{5}\)

d) \(\cos \left( {\alpha  - \beta } \right)\) biết \(\left\{ \begin{array}{l}
\sin \alpha  - \sin \beta  = \frac{1}{3}\\
\cos \alpha  - \cos \beta  = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\)

e) \(\sin \frac{\pi }{{16}}\sin \frac{{3\pi }}{{16}}\sin \frac{{5\pi }}{{16}}\sin \frac{{7\pi }}{{16}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
 - \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0 \Rightarrow \sin \alpha  < 0 \Rightarrow \sin \alpha  =  - \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }  = \frac{3}{5}\\
\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha  =  - \frac{{24}}{{25}}\\
\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1 = \frac{7}{{25}}\\
\cos \frac{\alpha }{2} = \sqrt {\frac{{1 + \cos \alpha }}{2}}  = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\\
\sin \frac{\alpha }{2} =  - \sqrt {\frac{{1 - \cos \alpha }}{2}}  =  - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}
\end{array}\)

Câu b:

Vì \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \tan \alpha  > 0\)

Do đó, ta có:

\(\begin{array}{l}
\tan \alpha  = \sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1}  = \frac{{2\sqrt {10} }}{9}\\
\tan \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \frac{{1 - \tan \alpha }}{{1 + \tan \alpha }} = \frac{{121 - 36\sqrt {10} }}{{41}}
\end{array}\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
{\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha  = \left( {{{\sin }^2}\alpha  - {{\cos }^2}\alpha } \right)\left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right)\\
 = {\sin ^2}\alpha  - {\cos ^2}\alpha  =  - \cos 2\alpha  =  - \frac{3}{5}
\end{array}\)

Câu d:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\left( {\sin \alpha  - \sin \beta } \right)^2} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2}\\
 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\sin ^2}\beta  - 2\sin \alpha \sin \beta  = \frac{1}{9}\,\,\left( 1 \right)\\
{\left( {\cos \alpha  - \cos \beta } \right)^2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\\
 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}\beta  - 2\cos \alpha \cos \beta  = \frac{1}{4}\,\,\left( 2 \right)
\end{array}\)

Cộng theo vế của (1) và (2), ta được:

\(\begin{array}{l}
1 + 1 - 2\left( {\cos \alpha \cos \beta  + \sin \alpha \sin \beta } \right) = \frac{1}{9} + \frac{1}{4} = \frac{{13}}{{36}}\\
 \Rightarrow \cos \left( {\alpha  - \beta } \right) = \frac{{59}}{{72}}
\end{array}\)

Câu e:

\(\begin{array}{l}
\sin \frac{\pi }{{16}}\sin \frac{{3\pi }}{{16}}\sin \frac{{5\pi }}{{16}}\sin \frac{{7\pi }}{{16}}\\
 = \sin \frac{\pi }{{16}}\sin \frac{{3\pi }}{{16}}\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{3\pi }}{{16}}} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{{16}}} \right)\\
 = \sin \frac{\pi }{{16}}\sin \frac{{3\pi }}{{16}}\cos \frac{{3\pi }}{{16}}\cos \frac{\pi }{{16}}\\
 = \frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{8}.\frac{1}{2}\sin \frac{{3\pi }}{8}\\
 = \frac{1}{4}\sin \frac{\pi }{8}\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{8}} \right)\\
 = \frac{1}{4}\sin \frac{\pi }{8}\cos \frac{\pi }{8} = \frac{1}{8}\sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{{16}}
\end{array}\)


Bài 57 trang 218 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng:

a) \(2\sin \left( {\frac{\pi }{4} + \alpha } \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \cos 2\alpha \)

b) \(\sin \alpha \left( {1 + \cos 2\alpha } \right) = \sin 2\alpha \cos \alpha \)

c) \(\frac{{1 + \sin 2\alpha  - \cos 2\alpha }}{{1 + \sin 2\alpha  + \cos 2\alpha }} = \tan \alpha \) (khi các biểu thức có nghĩa)

d) \(\tan \alpha  - \frac{1}{{\tan \alpha }} =  - \frac{2}{{\tan 2\alpha }}\) (khi các biểu thức có nghĩa) 

Hướng dẫn giải: 

Câu a:

\(2\sin \left( {\frac{\pi }{4} + \alpha } \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \cos 2\alpha  - \cos \frac{\pi }{2} = \cos 2\alpha \)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\sin \alpha \left( {1 + \cos 2\alpha } \right) = \sin \alpha \left( {1 + 2{{\cos }^2}\alpha  - 1} \right)\\
 = 2\sin \alpha {\cos ^2}\alpha  = \sin 2\alpha \cos \alpha 
\end{array}\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
\frac{{1 + \sin 2\alpha  - \cos 2\alpha }}{{1 + \sin 2\alpha  + \cos 2\alpha }} = \frac{{\sin 2\alpha \left( {1 - \cos 2\alpha } \right)}}{{\sin 2\alpha \left( {1 + \cos 2\alpha } \right)}}\\
 = \frac{{\sin 2\alpha  + 2{{\sin }^2}\alpha }}{{\sin 2\alpha  + 2{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{2\sin \alpha \left( {\cos \alpha  + \sin \alpha } \right)}}{{2\cos \alpha \left( {\cos \alpha  + \sin \alpha } \right)}} = \tan \alpha 
\end{array}\)

Câu d:

\(\tan \alpha  - \frac{1}{{\tan \alpha }} = 2.\frac{{{{\tan }^2}\alpha  - 1}}{{2\tan \alpha }} =  - \frac{2}{{\tan 2\alpha }}\)


Bài 58 trang 218 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng:

a) Nếu \(\alpha  + \beta  + \gamma  = k\pi \left( {k \in Z} \right)\) và \(\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma  \ne 0\) thì \(\tan \alpha  + \tan \beta  + \tan \gamma  = \tan \alpha \tan \beta \tan \)

b) Nếu \(0 < \alpha  < \beta  < \gamma  < \frac{\pi }{2}\) và \(\tan \alpha  = \frac{1}{8};\tan \beta  = \frac{1}{5};\tan \gamma  = \frac{1}{2}\) thì \(\alpha  + \beta  + \gamma  = \frac{\pi }{2}\)

c) \(\frac{1}{{\sin {{10}^0}}} - \frac{{\sqrt 3 }}{{\cos {{10}^0}}} = 4\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\alpha  + \beta  + \gamma  = k\pi  \Rightarrow \tan \left( {\alpha  + \beta } \right) = \tan \left( {k\pi  - \gamma } \right) =  - \tan \gamma \\
 \Rightarrow \frac{{\tan \alpha  + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }} =  - \tan \gamma \\
 \Rightarrow \tan \alpha  + \tan \beta  =  - \tan \gamma \left( {1 - \tan \alpha \tan \beta } \right)\\
 \Rightarrow \tan \alpha  + \tan \beta  + \tan \gamma  = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma 
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\tan \left( {\alpha  + \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha  + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }} = \frac{{\frac{1}{8} + \frac{1}{5}}}{{1 - \frac{1}{8}.\frac{1}{5}}} = \frac{1}{3}\\
 \Rightarrow \tan \left( {\alpha  + \beta  + \gamma } \right) = \frac{{\tan \left( {\alpha  + \beta } \right) + \tan \gamma }}{{1 - \tan \left( {\alpha  + \beta } \right)\tan \lambda }}\\
 = \frac{{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}}{{1 - \frac{1}{3}.\frac{1}{2}}} = 1
\end{array}\)

Vì \(0 < \alpha  + \beta  + \gamma  < \frac{{3\pi }}{2}\) nên ta có \(\alpha  + \beta  + \gamma  = \frac{\pi }{4}\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{\sin {{10}^0}}} - \frac{{\sqrt 3 }}{{\cos {{10}^0}}} = \frac{{\cos {{10}^0} - \sqrt 3 \sin {{10}^0}}}{{\sin {{10}^0}\cos {{10}^0}}}\\
 = \frac{{2\left( {\cos {{60}^0}\cos {{10}^0} - \sin {{60}^0}\sin {{10}^0}} \right)}}{{\sin {{10}^0}\cos {{10}^0}}}\\
 = \frac{{2\cos \left( {{{60}^0} + {{10}^0}} \right)}}{{\frac{1}{2}\sin {{20}^0}}} = \frac{{4\cos {{70}^0}}}{{\cos {{70}^0}}} = 4
\end{array}\)


Bài 59 trang 218 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng với mọi α, β, γ ta có:

\(\cos \left( {\alpha  + \beta } \right)\sin \left( {\alpha  - \beta } \right) + \cos \left( {\beta  + \gamma } \right)\sin \left( {\beta  - \gamma } \right) + \cos \left( {\gamma  + \alpha } \right)\sin \left( {\gamma  - \alpha } \right) = 0\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}
\cos \left( {\alpha  + \beta } \right)\sin \left( {\alpha  - \beta } \right) + \cos \left( {\beta  + \gamma } \right)\sin \left( {\beta  - \gamma } \right) + \cos \left( {\gamma  + \alpha } \right)\sin \left( {\gamma  - \alpha } \right)\\
 = \frac{1}{2}\left( {\sin 2\alpha  - \sin 2\beta } \right) + \frac{1}{2}\left( {\sin 2\beta  - \sin 2\gamma } \right) + \frac{1}{2}\left( {\sin 2\gamma  - \sin 2\alpha } \right) = 0
\end{array}\)


Bài 60 trang 219 SGK Toán 10 nâng cao

Nếu \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{1}{2}\) thì \(\sin 2\alpha \) bằng:

(A) \(\frac{3}{8}\)

(B)  \(-\frac{3}{4}\)

(C) \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

(D)  \(\frac{3}{4}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{1}{2} \Rightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha  = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin 2\alpha  =  - \frac{3}{4}\)

Chọn (B)


Bài 61 trang 219 SGK Toán 10 nâng cao

Với mọi \(\alpha\), \(\sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} + \alpha } \right)\) bằng:

(A) sin α

(B) - sin α

(C) - cos α

(D) cos α

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} + \alpha } \right) = \sin \left( {\pi  + \frac{\pi }{2} + \alpha } \right) =  - \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) =  - \cos \alpha \)

Chọn (C)


Bài 62 trang 219 SGK Toán 10 nâng cao

\(\frac{{\sin \frac{\pi }{{15}}\cos \frac{\pi }{{10}} + \sin \frac{\pi }{{10}}\cos \frac{\pi }{{15}}}}{{\cos \frac{{2\pi }}{{15}}\cos \frac{\pi }{{15}} - \sin \frac{{2\pi }}{{15}}\sin \frac{\pi }{{15}}}}\) bằng

(A) \(\sqrt 3 \)

(B) 1

(C) - 1

(D) \(\frac{1}{2}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\frac{{\sin \frac{\pi }{{15}}\cos \frac{\pi }{{10}} + \sin \frac{\pi }{{10}}\cos \frac{\pi }{{15}}}}{{\cos \frac{{2\pi }}{{15}}\cos \frac{\pi }{{15}} - \sin \frac{{2\pi }}{{15}}\sin \frac{\pi }{{15}}}}\\
 = \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{{15}} + \frac{\pi }{{10}}} \right)}}{{\cos \left( {\frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{\pi }{{15}}} \right)}} = \frac{{\sin \frac{\pi }{6}}}{{\cos \frac{\pi }{3}}} = 1
\end{array}\)

Chọn (B)


Bài 63 trang 219 SGK Toán 10 nâng cao

\(\cos \frac{\pi }{{12}}\cos \frac{{7\pi }}{{12}}\) bằng

(A) \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

(B) \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\)

(C) \(\frac{1}{2}\)

(D) \(-\frac{1}{4}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\cos \frac{\pi }{{12}}\cos \frac{{7\pi }}{{12}} = \frac{1}{2}\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + \cos \frac{\pi }{2}} \right) =  - \frac{1}{4}\)

Chọn (D)


Bài 64 trang 219 SGK Toán 10 nâng cao

\(\sin \frac{{{{90}^0}}}{4}{\rm{cos}}\frac{{{{270}^0}}}{4}\) bằng:

(A) \(\frac{1}{2}\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

(B) \(\frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} - 1} \right)\)

(C) \(\frac{1}{2}\left( {1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

(D) \(\sqrt 2  - 1\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\sin \frac{{{{90}^0}}}{4}{\rm{cos}}\frac{{{{270}^0}}}{4} = \frac{1}{2}\left( {\sin {{90}^0} - \sin {{45}^0}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

Chọn (A)


Bài 65 trang 219 SGK Toán 10 nâng cao

\(\frac{{\cos {{80}^0} - \cos {{20}^0}}}{{\sin {{40}^0}\cos {{10}^0} + \sin {{10}^0}\cos {{40}^0}}}\) bằng:

(A) 1

(B) \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

(C) - 1

(D) \(-\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\frac{{\cos {{80}^0} - \cos {{20}^0}}}{{\sin {{40}^0}\cos {{10}^0} + \sin {{10}^0}\cos {{40}^0}}}\\
 =  - \frac{{2\sin {{50}^0}\sin {{30}^0}}}{{\sin \left( {{{40}^0} + {{10}^0}} \right)}} =  - 2\sin {30^0} =  - 1
\end{array}\)

Chọn (C)


Bài 66 trang 219 SGK Toán 10 nâng cao

Góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo α mà góc uOv là góc nhọn thì:

(A) \(0 \le \alpha  \le \frac{\pi }{2}\)

(B) \( - \frac{\pi }{2} \le \alpha  \le \frac{\pi }{2}\)

(C) \( - \frac{\pi }{2} < \alpha  \le 0\)

(D) Có số nguyên k để \( - \frac{\pi }{2} + k2\pi  < \alpha  < \frac{\pi }{2} + k2\pi \)

Hướng dẫn giải:

Chọn (D)


Bài 67 trang 220 SGK Toán 10 nâng cao

Góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo α mà góc uOv là góc tù thì:

(A) Có số nguyên k để \(\frac{\pi }{2} + k2\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \)

(B) \( - \pi  \le \alpha  \le \frac{{ - \pi }}{2}\)

(C) \( - \frac{\pi }{2}   \le \alpha  \le \frac{{3\pi }}{2}  \)

(D) \(\frac{\pi }{2} < \alpha  \le \pi \)

Hướng dẫn giải:

Chọn (A)


Bài 68 trang 220 SGK Toán 10 nâng cao

Với góc lượng giác (OA, OM) có số đo α, xét góc lượng giác (OA, ON) có 1 số đo \(\frac{\alpha }{2}\) (M và N cùng nằm trên đường trọn lượng giác gốc A). Khi đó, với mọi α sao cho M nằm trong góc phần tư thứ III của hệ tọa độ gắn với đường tròn đó (M không nằm trên trục tọa độ), điểm N luôn.

(A) nằm trong góc phần tư I

(B) nằm trong góc phần tư II

(C) nằm trong góc phần tư III

(D) không nằm trong góc phần tư I và III

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\pi  + k2\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi ,k \in Z \Rightarrow \frac{\pi }{2} + k\pi  < \frac{\alpha }{2} < \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \)

  • Nếu k chẵn thì N nằm trong góc phần tư thứ II
  • Nếu k lẻ thì N nằm trong góc phần tư thứ IV

Chọn (D)


Bài 69 trang 220 SGK Toán 10 nâng cao

Với góc lượng giác (OA, OM) có số đo ∝, xét góc lượng giác (OA, ON) có số đo 2∝ (M và N cùng nằm trên đường tròn lượng giác gốc A). Khi đó, với mọi ∝ so cho M nằm trong góc phần tư I của hệ tọa độ gắn với đường tròn đó (M không nằm trên trục tọa độ), điểm N luôn:

(A) nằm trong góc phần tư I

(B) nằm trong góc phần tư II

(C) nằm trong góc phần tư III

(D) không nằm trong góc phần tư IV

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(k2\pi  < \alpha  < \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Rightarrow k4\pi  < 2\alpha  < \pi  + k4\pi \)

Chọn (D)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Ôn tập Chương 6 với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.  

 

 

 

YOMEDIA
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_bg] => 
            [banner_picture] => 809_1633914298.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://kids.hoc247.vn/ma-tk-vip/?utm_source=hoc247net&utm_medium=PopUp&utm_campaign=Hoc247Net
            [banner_startdate] => 2021-09-01 00:00:00
            [banner_enddate] => 2021-10-31 23:59:59
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)