Giải Toán 10 SGK nâng cao Ôn tập Chương 3

Phương trình ax + b = 0 có thể có nghiệm trong những trường hợp nào?

Hướng dẫn giải:

• Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x =  - \frac{b}{a}\)
• Nếu a = 0, b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm khi a ≠ 0 hoặc a = b = 0

---

Giả sử ba phương trình f(x).g(x) = 0, f(x) = 0 và g(x) = 0 (với cùng tập xác định) có các tập nghiệm lần lượt là T, T₁ và T₂. Hãy chọn kết luận đúng trong hai kết luận sau:

a) S = S₁ ∩ S₂;

b) S = S₁ ∪ S₂.

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

\(f\left( x \right).g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = 0\\
g\left( x \right) = 0
\end{array} \right.\)

Chọn b) S = S₁∪ S₂

---

Hệ phương trình dạng \(\left\{ \begin{array}{l}
ax + by = c\\
a'x + b'y = c'
\end{array} \right.\) (\({a^2} + {b^2} \ne 0\) và \(a{'^2} + b{'^2} \ne 0\)) có thể có nghiệm trong trường hợp nào ?

Áp dụng: Tìm a để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
ax + y = {a^2}\\
x + ay = 1
\end{array} \right.\) có nghiệm ?

Hướng dẫn giải:

Hệ đã cho có nghiệm khi D ≠ 0 hoặc D = D_x = D_y = 0

Áp dụng:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1\\
1&a
\end{array}} \right| = {a^2} - 1\\
{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a^2}}&1\\
1&a
\end{array}} \right| = {a^3} - 1\\
{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&{{a^2}}\\
1&1
\end{array}} \right| = a - {a^2}
\end{array}\)

• Nếu a ≠ ±1 hệ có nghiệm duy nhất
• Nếu a = 1 thì hệ có vô số nghiệm
• Nếu a = −1 thì hệ vô nghiệm (Do D_x = - 2 ≠ 0)

Vậy hệ có nghiệm ⇔ a ≠ −1

---

Biết rằng phương trình ax² + bx + c = 0 có một nghiệm kép x_o. Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

(A) Tam thức bậc hai ax² + bx + c có thể viết dưới dạng bình phương của một nhị thức bậc nhất;

(B) Parabol y = ax² + bx + c có đỉnh thuộc trục hoành;

(C) Phương trình cx² + bx + a = 0 cũng có một nghiệm kép là \(\frac{1}{{{x_0}}}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn (B): (P) có đỉnh thuộc trục hoành 

Chú ý (A) chỉ đúng nếu a > 0

          (C) chỉ đúng nếu c ≠ 0

---

Giải và biện luận phương trình: m(mx –1) = x + 1

Hướng dẫn giải:

Ta có:

m(mx –1) = x + 1 ⇔ (m²–1)x = m + 1

• Nếu m ≠ ± 1 thì phương trình có nghiệm:

\(x = \frac{{m + 1}}{{{m^2} - 1}} = \frac{1}{{m - 1}};S = \left\{ {\frac{1}{{m - 1}}} \right\}\)

• Nếu m = 1 thì (1) thành 0x = 2; S = Ø
• Nếu m = −1 thì (1) thành 0x = 0; S = R

---

Cho phương trình p(x + 1) − 2x = p² + p − 4. Tìm các giá trị của p để:

a) Phương trình nhận 1 làm nghiệm;

b) Phương trình có nghiệm;

c) Phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

x = 1 là nghiệm phương trình:

⇔ 2p − 2 = p² + p − 4 ⇔ p² − p − 2 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
p =  - 1\\
p = 2
\end{array} \right.\)

Câu b:

Ta có: p(x + 1) – 2x = p² + p – 4 ⇔ (p – 2)x = p² – 4

• Nếu p ≠ 2: phương trình có nghiệm x = p + 2
• Nếu p = 2: phương trình có vô số nghiệm

Vậy với mọi p, phương trình luôn có nghiệm

Câu c:

Theo b) ta thấy: không có p nào thỏa mãn để phương trình vô nghiệm.

---

Ba cạnh của một tam giác vuông có độ dài là 3 số tự nhiên liên tiếp. Tính độ dài của chúng.

Hướng dẫn giải:

Gọi độ dài ngắn nhất là x (điều kiện x nguyên dương)

Theo giả thiết, độ dài của hai cạnh kia là x + 1 và x + 2, trong đó cạnh huyền dài x + 2

Theo định lý Py-ta-go, ta có phương trình:

x² + (x + 1)² = (x + 2)²

Phương trình này tương đương với:

\({x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 1\,\,\left( l \right)\\
x = 3\,\,\left( n \right)
\end{array} \right.\)

Vậy độ dài của các cạnh của tam giác vuông là 3, 4 và 5.

---

Cho phương trình (m − 1)x² + 2x − 1 = 0

a) Giải và biện luận phương trình.

b) Tìm các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm khác dấu.

c) Tìm các giá trị của m sao cho tổng bình phương hai nghiệm của nó bằng 1.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

• Với m = − 1, phương trình có nghiệm là \(x = \frac{1}{2}\)
• Với m ≠ 1, ta có: Δ′ = 1 + m – 1 = m
• Với m < 0: S = Ø
• Với m = 0: S = {1}
• Với m > 0: \(S = \left\{ {\frac{{ - 1 - \sqrt m }}{{m - 1}};\frac{{ - 1 + \sqrt m }}{{m - 1}}} \right\}\)

Câu b:

Phương trình có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow P < 0 \Leftrightarrow  - \frac{1}{{m - 1}} < 0\)

Câu c:

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm: 1 ≠ m > 0

Theo định lý Vi-ét:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - \frac{2}{{m - 1}}\\
{x_1}{x_2} =  - \frac{1}{{m - 1}}
\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
x_1^2 + x_2^2 = 1 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 1\\
 \Leftrightarrow \frac{4}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} + \frac{2}{{m - 1}} = 1\\
 \Rightarrow 4 + 2\left( {m - 1} \right) = {\left( {m - 1} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 1 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 2 - \sqrt 5 \,\,\left( l \right)\\
m = 2 + \sqrt 5 \,\,\left( n \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

---

Với giá trị nào của a thì hai phương trình sau có nghiệm chung:

x² + x + a = 0 và x² + ax + 1 = 0

Hướng dẫn giải:

Giả sử x₀ là nghiệm chung của hai phương trình, ta có:

x₀² + x₀ + a = 0    (1)

x₀² + ax₀ + 1 = 0     (2)

Lấy (1) trừ (2) ta có:

(1 − a)x₀ + a − 1 = 0 ⇔ (1 − a)(x₀ − 1) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 1\\
{x_0} = 1
\end{array} \right.\)

• Với x₀ = 1 ⇒ a = −2
• Với a = 1 thì x₀² + x₀ + 1 = 0 (vô nghiệm)
• Với a = − 2 hai phương trình x² + x − 2 = 0 và x² − 2x + 1 = 0 có nghiệm chung là x = 1

Vậy a = −2

---

Cho các phương trình:

x² + 3x − m + 1 = 0  (1) và 2x² − x + 1 − 2p = 0    (2)

a) Biện luận số nghiệm của mỗi phương trình bằng đồ thị.

b) Kiểm tra lại kết quả trên bằng phép tính.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

* Xét phương trình x² + 3x − m + 1 = 0

Ta có: (1) ⇔ x² + 3x + 1 = m

Gọi (d) là đường thẳng y = m

Đồ thị hàm số y = x² + 3x + 1 là parabol (P) có đỉnh là điểm (−1,5;−1,25) và hướng bề lõm lên trên.

 

Do đó:

• Khi m < −1,25 thì (d) không cắt (P), phương trình vô nghiệm.
• Khi m = −1,25 thì (d) và (P) có một điểm chung, phương trình có một nghiệm.
• Khi m > −1,25 thì (d) cắt (P) tại hai điểm. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

* Xét phương trình 2x² − x + 1 – 2p = 0   (2)

(2) ⇔ 2x² – x + 1 = 2p

Gọi (d) là đường thẳng y = 2p; (P) là parabol y = 2x² – x + 1

Parabol (P) có đỉnh tại điểm \(\left( {\frac{1}{4};\frac{7}{8}} \right)\) và hướng bề lõm lên trên.

 

Do đó:

• Nếu \(2p < \frac{7}{8}\), tức là \(p < \frac{7}{{16}}\) thì (d) không cắt (P), phương trình vô nghiệm.
• Nếu \(2p = \frac{7}{8}\), tức là \(p = \frac{7}{{16}}\) thì (d) và (P) có một điểm chung, phương trình có một nghiệm.
• Nếu \(2p > \frac{7}{8}\), tức là \(p > \frac{7}{{16}}\) thì (d) cắt (P) tại hai điểm chung, phương trình có hai nghiệm.

Câu b:

* Xét phương trình (1) có : Δ₁ = 9 + 4m – 4 = 4m + 5

• Nếu \(4m + 5 < 0 \Leftrightarrow m <  - \frac{5}{4}\) thì (1) vô nghiệm
• Nếu \(4m + 5 = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{5}{4}\) thì (1) có nghiệm kép
• Nếu \(4m + 5 > 0 \Leftrightarrow m >  - \frac{5}{4}\) thì (1) có hai nghiệm phân biệt

Rõ ràng kết quả biện luận bằng đồ thị số nghiệm của (1) và kết quả biện luận số nghiệm của (1) bằng phép tính là như nhau.

* Xét phương trình :

2x² – x + 1 – 2p = 0, có Δ₂ = 1 – 8 + 16p = 16p - 7

• Nếu \(16p - 7 < 0 \Leftrightarrow p < \frac{7}{{16}}\) thì (2) vô nghiệm
• Nếu \(16p - 7 = 0 \Leftrightarrow p = \frac{7}{{16}}\) thì (2) có nghiệm kép \(x = \frac{1}{4}\)
• Nếu \(16p - 7 > 0 \Leftrightarrow p > \frac{7}{{16}}\) thì (2) có hai nghiệm phân biệt

Ta thấy kết quả biện luận số nghiệm bằng đồ thị và kết quả biện luận số nghiệm của (2) bằng phép tính là như nhau.

---

Giải các hệ phương trình 

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + xy = 7\\
{x^2} + {y^2} - xy = 3
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
2{\left( {x + y} \right)^2} - xy = 1\\
{x^2}y + x{y^2} = 0
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a: 

Đặt S = x + y; P = xy ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{S^2} - 2P + P = 7\\
{S^2} - 2P - P = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{S^2} - P = 7\\
{S^2} - 3P = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
S =  \pm 3\\
P = 2
\end{array} \right.\)

• Với S = 3, P = 2 thì x, y là nghiệm của phương trình:

\({X^2} - 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
X = 1 \\
X = 2 
\end{array} \right.\)

• Với S = - 3, P = 2 thì x, y là nghiệm của phương trình:

\({X^2} + 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
X =  - 1\\
X =  - 2
\end{array} \right.\)

Câu b: 

Đặt S = x + y, P = xy ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
2{S^2} - P = 1\\
SP = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
S = 0\\
P =  - 1
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
S =  \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\
P = 0
\end{array} \right.\)

• Với S = 0, P = - 1 thì x, y là nghiệm phương trình:

\({X^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow X =  \pm 1\)

Do đó ta có nghiệm (1;- 1), (- 1;1)

• Với \(S =  \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }},P = 0\) thì x, y là nghiệm của phương trình:

\({X^2} \mp \frac{1}{{\sqrt 2 }}X = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
X = 0\\
X =  \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array} \right.\)

Vậy hệ có 6 nghiệm \(\left( {1; - 1} \right),\left( { - 1;1} \right),\left( {0;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right),\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right),\left( {0; - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right);\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right)\)

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm (1;2), (2;1), (- 1;- 2), (- 2;- 1)

---

Giải và biện luận các hệ phương trình

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
mx + 3y = m - 1\\
2x + \left( {m - 1} \right)y = 3
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
5x + \left( {a - 2} \right)y = a\\
\left( {a + 3} \right)x + \left( {a + 3} \right)y = 2a
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
m&3\\
2&{m - 1}
\end{array}} \right| = {m^2} - m - 6 = \left( {m - 3} \right)\left( {m + 2} \right)\\
{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{m - 1}&3\\
3&{m - 1}
\end{array}} \right| = \left( {m - 4} \right)\left( {m + 2} \right)\\
{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
m&{m - 1}\\
2&3
\end{array}} \right| = m + 2
\end{array}\)

• Với m ≠ 3 và m ≠ 2 hệ có nghiệm duy nhất (x,y) với \(x = \frac{{m - 4}}{{m - 3}};y = \frac{1}{{m - 3}}\)
• Với m = 3: hệ vô nghiệm (do D_y = 5 ≠ 0)
• Với m = −2 hệ thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  { - 2a + 3y =  - 3}\\
  {2x - 3y = 3}
  \end{array}} \right. \Leftrightarrow y = \frac{1}{3}\left( {2x - 3} \right)\)

Do đó hệ có vô số nghiệm dạng \(\left( {x;\frac{1}{3}\left( {2x - 3} \right)} \right),x \in R\)

Câu b:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
5&{a - 2}\\
{a + 3}&{a + 3}
\end{array}} \right| = 5\left( {a + 3} \right) - \left( {a - 2} \right)\left( {a + 3} \right) = \left( {a + 3} \right)\left( {7 - a} \right)\\
{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&{a - 2}\\
{2a}&{a + 3}
\end{array}} \right| = a\left( {a + 3} \right) - 2a\left( {a - 2} \right) =  - {a^2} + 7a = a\left( {7 - a} \right)\\
{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
5&a\\
{a + 3}&{2a}
\end{array}} \right| = 10a - a\left( {a + 3} \right) =  - {a^2} + 7a = a\left( {7 - a} \right)
\end{array}\)

+ Với a ≠ −3 và a ≠ 7 hệ có nghiệm duy nhất (x,y) với \(x = y = \frac{a}{{a + 3}}\)

+ Với a = −3 hệ thành \(\left\{ \begin{array}{l}
5x - 5y =  - 3\\
0x + 0y =  - 6
\end{array} \right.\) (vô nghiệm)

+ Với a = 7, hệ thành \(\left\{ \begin{array}{l}
5x + 5y = 7\\
10x + 10y = 14
\end{array} \right. \Leftrightarrow y =  - x + \frac{7}{5}\)

Hệ có vô số nghiệm dạng \(\left( {x;\frac{7}{5} - x} \right),x \in R\)

---

Giải và biện luận các hệ phương trình

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 4\\
xy = m
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
3x - 2y = 1\\
{x^2} + {y^2} = m
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Theo định lý Vi-ét đảo, x và y là nghiệm của hệ phương trình:

X² – 4X + m = 0  (1)

Ta có:  Δ’ = 4 – m

Do đó:

+ Nếu m > 4 thì Δ’ < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm

+ Nếu m = 4 thì Δ’ = 0 thì phương trình (1) có một nghiệm kép X = 2 nên hệ đã cho có một nghiệm duy nhất (x,y) = (2,2)

+ Nếu m < 4 thì Δ’ > 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(X = 2 \pm \sqrt {4 - m} \) nên hệ đã cho có hai nghiệm:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - \sqrt {4 - m} \\
y = 2 + \sqrt {4 - m} 
\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + \sqrt {4 - m} \\
y = 2 - \sqrt {4 - m} 
\end{array} \right.\)

Câu b:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
3x - 2y = 1\\
{x^2} + {y^2} = m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2y = 3x - 1\\
4{x^2} + 4{y^2} = 4m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2y = 3x - 1\\
4{x^2} + {\left( {3x - 1} \right)^2} = 4m
\end{array} \right.\)

Xét riêng phương trình 4x² + (3x – 1)² = 4m ⇔ 13x² – 6x – 4m + 1= 0 (2)

Phương trình (2) có biệt thức thu gọn Δ’ = 4(13m – 1).

Do đó:

+ Nếu \(m < \frac{1}{{13}} \Rightarrow \Delta ' < 0\), phương trình (2) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.

+ Nếu \(m = \frac{1}{{13}} \Rightarrow \Delta ' = 0\), phương trình (2) có một nghiệm  nên hệ có nghiệm là

+ Nếu \(m > \frac{1}{{13}} \Rightarrow \Delta ' > 0\) thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = \frac{{3 \pm 2\sqrt {13m - 1} }}{{13}}\) nên hệ có hai nghiệm:

\(\begin{array}{l}
\left( {{x_1};{y_1}} \right) = \left( {\frac{{3 - 2\sqrt {13m - 1} }}{{13}};\frac{{ - 2 - 3\sqrt {13m - 1} }}{{13}}} \right)\\
\left( {{x_2};{y_2}} \right) = \left( {\frac{{3 + 2\sqrt {13m - 1} }}{{13}};\frac{{ - 2 + 3\sqrt {13m - 1} }}{{13}}} \right)
\end{array}\)

---

Tìm a, b và c để Parabol y = ax² + bx + c (P) có đỉnh là I(1; -4) và đi qua điểm M(2; -3). Hãy vẽ Parabol nhận được.

Hướng dẫn giải:

Ta có I(1;- 4) là đỉnh của (P) nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}
 - \frac{b}{{2a}} = 1\\
 - 4 = a + b + c
\end{array} \right.\)

\(M\left( {2; - 3} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow  - 3 = 4a + 2b + c\)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}
2a + b = 0\\
a + b + c =  - 4\\
4a + 2b + c =  - 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b =  - 2\\
c =  - 3
\end{array} \right.\)

Vậy (P): y = x² - 2x - 3

Đồ thị (P):

---

Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c.Ta lấy một điểm M trên cạnh BC. Qua M, ta kẻ các đường thẳng ME và MF thứ tự song song với các cạnh AC và AB (E ∈ AB, F ∈ AC). Hỏi phải lấy điểm M cách B bao nhiêu để tổng ME + MF = l (l là độ dài cho trước)? Biện luận theo l, a, b và c

Hướng dẫn giải:

 

Đặc x = MB (điều kiện: 0 < x < a)

Theo định lý Ta – lét, ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{ME}}{x} = \frac{b}{a} \Rightarrow ME = \frac{{bx}}{a}\\
\frac{{MF}}{c} = \frac{{a - x}}{a} \Rightarrow MF = \frac{{x\left( {a - x} \right)}}{a}
\end{array}\)

Điều kiện ME + MF = l cho ta phương trình:

\(l = \frac{{bx}}{a} + \frac{{c\left( {a - x} \right)}}{a} \Leftrightarrow \left( {b - c} \right)x = a\left( {l - c} \right)\,\,\left( 1 \right)\)

• Nếu b = c (tức là tam giác ABC cân tại A) thì phương trình (1) vô nghiệm nếu l ≠ c; nghiệm đúng với mọi x nếu l = c. Điều này có nghĩa là: 

- Khi tam giác ABC cân tại A và l ≠ AB thì không có điểm M nào trên cạnh BC thỏa mãn điều kiện của tam giác.

- Khi tam giác ABC cân tại A và l = ABthì mọi điểm M nằm trên cạnh BC đều thỏa mãn điều kiện của tam giác.

• Nếu b ≠ c (tức là tam giác ABC không cân ở A), thì phương trình (1) có một nghiệm duy nhất \(x = \frac{{a\left( {l - c} \right)}}{{b - c}}\)

Xét điều kiện 0 < x < a:

\(0 < x < a \Leftrightarrow 0 < \frac{{a\left( {l - c} \right)}}{{b - c}} < a \Leftrightarrow 0 < \frac{{l - c}}{{b - c}} < 1\,\,\left( 2 \right)\)

Với b ≠ c nên có hai trường hợp:

+ Với b > c, ta có: \( \Leftrightarrow 0 < l - c < b - c \Leftrightarrow c < l < b\)

+ Với b < c, ta có: \( \Leftrightarrow 0 > l - c > b - c \Leftrightarrow c > l > b\)

Hai kết quả trên có nghĩa là giá trị \(x = \frac{{a\left( {l - c} \right)}}{{b - c}}\) là nghiệm của bài toán (điểm M cách B một khoảng bằng \(\frac{{a\left( {l - c} \right)}}{{b - c}}\) khi và chỉ độ dài l nằm giữa các độ dài b và c)