ON
YOMEDIA

Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 6 Bài 4 Một số công thức lượng giác

VIDEO_3D

Mời các em học sinh lớp 10 cùng tham khảo tài liệu Hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK Toán 10 nâng cao Chương 6 Bài 4 Một số công thức lượng giác do HỌC247 tổng hợp và biên soạn dưới đây. Nội dung tài liệu bao gồm phương pháp giải và đáp án gợi ý được trình bày một cách khoa học và dễ hiểu, giúp các em dễ dàng vận dụng, nâng cao kỹ năng làm bài. Chúc các em học tốt!

ADSENSE

Bài 38 trang 213 SGK Toán 10 nâng cao

Hỏi mỗi khẳng định sau đây có đúng không? ∀α,∀β ta có:

\(\begin{array}{l}
a)\,2\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = \cos \alpha  + \cos \beta \\
b)\,\sin \left( {\alpha  - \beta } \right) = \sin \alpha  - \sin \beta \\
c)\,\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) = \sin \alpha .\cos \beta  + \cos \alpha .\sin \beta \\
d)\,\cos \left( {\alpha  - \beta } \right) = \cos \alpha .\cos \beta  - \sin \alpha .\sin \beta \\
e)\,\frac{{\sin 4\alpha }}{{\cos 2\alpha }} = \tan 2\alpha \\
f)\,{\sin ^2}\alpha  = \sin 2\alpha 
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Sai. vì nếu \(\beta  = 0\) thì \(\cos \alpha  + 1\) (vô lý)

Câu b:

Sai. Vì nếu lấy \(\alpha  = \frac{\pi }{2};\beta  =  - \frac{\pi }{2}\) thì \(\sin \pi  = 2\sin \frac{\pi }{2}\) (vô lý)

Câu c:

Đúng

Câu d:

Sai. Vì nếu lấy \(\alpha  = \frac{\pi }{4};\beta  =  - \frac{\pi }{4}\) thì \({\cos ^2}\frac{\pi }{4} - {\sin ^2}\frac{\pi }{4} \Leftrightarrow 1 = 0\) (vô lý)

Câu e:

Sai. Vì nếu lấy \(\alpha  = \frac{\pi }{8} \Rightarrow \frac{{\sin \frac{\pi }{2}}}{{\cos \frac{\pi }{4}}} = \tan \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow \sqrt 2  = 1\) (vô lý)

Câu f:

Sai. Vì nếu lấy \(\alpha  = \frac{\pi }{2} \Rightarrow {\sin ^2}\frac{\pi }{2} = \sin \pi  \Leftrightarrow 1 = 0\) (vô lý)


Bài 39 trang 213 SGK Toán 10 nâng cao

Sử dụng 750 = 450 + 300, hãy tính giá trị lượng giác của góc 750

Sử dụng 150 = 450 - 300, hãy tính giá trị lượng giác của góc 150. (đối chiếu với kết quả bài tập 29)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\cos {75^0} = \cos \left( {{{45}^0} + {{30}^0}} \right) = \cos {45^0}.\cos {30^0} - \sin {45^0}.\sin {30^0} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\)

\(\begin{array}{l}
\sin {75^0} = \sin \left( {{{45}^0} + {{30}^0}} \right)\\
 = \sin {45^0}.\cos {30^0} + \cos {45^0}.\sin {30^0}\\
 = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\\
\tan {75^0} = \frac{{\sqrt 3  + 1}}{{\sqrt 3  - 1}} = 2 + \sqrt 3 \\
\cot {75^0} = 2 - \sqrt 3 
\end{array}\)

Câu b:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\cos {15^0} = \cos \left( {{{45}^0} - {{30}^0}} \right)\\
 = \cos {45^0}.\cos {30^0} + \sin {45^0}.\sin {30^0} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {\sqrt 3  + 1} \right)
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\sin {15^0} = \sin \left( {{{45}^0} - {{30}^0}} \right)\\
 = \sin {45^0}.\cos {30^0} - \cos {45^0}.\sin {30^0}\\
 = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\\
\tan {15^0} = \frac{{\sqrt 3  - 1}}{{\sqrt 3  + 1}} = 2 - \sqrt 3 \\
\cot {15^0} = 2 + \sqrt 3 
\end{array}\)


Bài 40 trang 213 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng:

\(\begin{array}{l}
a)\,\,\sin \alpha  + \cos \alpha  = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right)\\
b)\,\,\sin \alpha  - \cos \alpha  = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha  - \frac{\pi }{4}} \right)\\
c)\,\,\tan \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \frac{{1 - \tan \alpha }}{{1 + \tan \alpha }}\left( {\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ;\alpha  \ne \frac{{3\pi }}{4} + k\pi } \right)\\
d)\,\,\tan \left( {\frac{\pi }{4} + \alpha } \right) = \frac{{1 + \tan \alpha }}{{1 - \tan \alpha }}\left( {\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ;\alpha  \ne \frac{\pi }{4} + k\pi } \right)
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\sqrt 2 \sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin \alpha .\cos \frac{\pi }{4} + \sin \frac{\pi }{4}.\cos \alpha } \right)\\
 = \sqrt 2 \left( {\sin \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha } \right) = \sin \alpha  + \cos \alpha 
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\sqrt 2 \sin \left( {\alpha  - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin \alpha .\cos \frac{\pi }{4} - \sin \frac{\pi }{4}.\cos \alpha } \right)\\
 = \sqrt 2 \left( {\sin \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha } \right) = \sin \alpha  - \cos \alpha 
\end{array}\)

Câu c:

\(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - \tan \alpha }}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}.\tan \alpha }} = \frac{{1 - \tan \alpha }}{{1 + \tan \alpha }}\)

Câu d:

\(\tan \left( {\frac{\pi }{4} + \alpha } \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} + \tan \alpha }}{{1 - \tan \frac{\pi }{4}.\tan \alpha }} = \frac{{1 + \tan \alpha }}{{1 - \tan \alpha }}\)


Bài 41 trang 214 SGK Toán 10 nâng cao

a) Biết \(\sin \alpha  = \frac{1}{3};\alpha  \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\). Hãy tính giá trị lượng của góc \(2\alpha \) và góc \(\frac{\alpha }{2}\)

b) Sử dụng \({15^0} = \frac{{{{30}^0}}}{2}\), hãy kiểm nghiệm lại kết quả của bài tập 39.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\sin \alpha  = \frac{1}{3}\\
\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi 
\end{array} \right. \Rightarrow \cos \alpha  =  - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  =  - \sqrt {1 - \frac{1}{9}}  =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}
\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha  = 2.\frac{1}{3}.\left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) =  - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}\\
\cos 2\alpha  = 1 - 2{\sin ^2}\alpha  = \frac{7}{9}\\
\tan 2\alpha  = \frac{{\sin 2\alpha }}{{\cos 2\alpha }} =  - \frac{{4\sqrt 2 }}{7}\\
\cot 2\alpha  =  - \frac{{7\sqrt 2 }}{8}
\end{array}\)

Ta có: \(\frac{\pi }{4} < \frac{\alpha }{2} < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\cos \frac{\alpha }{2} > 0\\
\sin \frac{\alpha }{2} > 0
\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{r}
\cos \alpha  = 2{\cos ^2}\frac{\alpha }{2} - 1 \Rightarrow \cos \frac{\alpha }{2} = \sqrt {\frac{{1 + \cos \alpha }}{2}}  = \sqrt {\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{6}} \\
\cos \alpha  = 1 - 2{\sin ^2}\frac{\alpha }{2} \Rightarrow \sin \frac{\alpha }{2} = \sqrt {\frac{{1 - \cos \alpha }}{2}}  = \sqrt {\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{6}} 
\end{array}\)

\(\tan \frac{\alpha }{2} = \frac{{\sin \frac{\alpha }{2}}}{{2\cos \frac{\alpha }{2}}} = 3 + 2\sqrt 2 ;\cot \frac{\alpha }{2} = 3 - 2\sqrt 2 \)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
2{\cos ^2}{15^0} = 1 + \cos {30^0} = 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \cos {15^0} = \sqrt {\frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}} \\
2{\sin ^2}{15^0} = 1 - \cos {30^0} = 1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \sin {15^0} = \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}} \\
\tan {15^0} = \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}}  = 2 - \sqrt 3 ,\cot {15^0} + 2 + \sqrt 3 
\end{array}\)


Bài 42 trang 214 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng:

a) \(\sin \frac{{11\pi }}{{12}}{\rm{cos}}\frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{1}{4}\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\)

b) \({\rm{cos}}\frac{\pi }{7}{\rm{cos}}\frac{{3\pi }}{7}{\rm{cos}}\frac{{5\pi }}{7} =  - \frac{1}{8}\)

c) \(\sin {6^0}\sin {42^0}\sin {66^2}\sin {78^0} = \frac{1}{16}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\sin \frac{{11\pi }}{{12}}{\rm{cos}}\frac{{5\pi }}{{12}} = \sin \left( {\pi  - \frac{\pi }{{12}}} \right){\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{{12}}} \right)\\
 = {\sin ^2}\frac{\pi }{{12}} = \frac{1}{2}\left( {1 - {\rm{cos}}\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2} = \left( {1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{1}{4}\left( {2 - \sqrt 3 } \right)
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
{\rm{cos}}\frac{{3\pi }}{7} = {\rm{cos}}\left( {\pi  - \frac{{4\pi }}{7}} \right) =  - {\rm{cos}}\frac{{4\pi }}{7}\\
{\rm{cos}}\frac{{5\pi }}{7} = {\rm{cos}}\left( {\pi  - \frac{{2\pi }}{7}} \right) =  - {\rm{cos}}\frac{{2\pi }}{7}\\
 \Rightarrow {\rm{cos}}\frac{\pi }{7}{\rm{cos}}\frac{{3\pi }}{7}{\rm{cos}}\frac{{5\pi }}{7} = {\rm{cos}}\frac{\pi }{7}{\rm{cos}}\frac{{2\pi }}{7}{\rm{cos}}\frac{{4\pi }}{7}\\
 = \frac{1}{{\sin \frac{\pi }{7}}}\left( {{\rm{sin}}\frac{\pi }{7}{\rm{cos}}\frac{\pi }{7}} \right){\rm{cos}}\frac{{2\pi }}{7}{\rm{cos}}\frac{{4\pi }}{7}\\
 = \frac{1}{{\sin \frac{\pi }{7}}}.\frac{1}{2}\left( {\sin \frac{{2\pi }}{7}{\rm{cos}}\frac{{2\pi }}{7}} \right).{\rm{cos}}\frac{{4\pi }}{7}\\
 = \frac{1}{{\sin \frac{\pi }{7}}}.\frac{1}{4}\sin \frac{{4\pi }}{7}{\rm{cos}}\frac{{4\pi }}{7}\\
 = \frac{1}{{8\sin \frac{\pi }{7}}}.\sin \frac{{8\pi }}{7} = \frac{{ - \sin \frac{\pi }{7}}}{{8\sin \frac{\pi }{7}}} =  - \frac{1}{8}
\end{array}\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
\sin {6^0}\sin {42^0}\sin {66^2}\sin {78^0}\\
 = \sin {6^0}{48^0}\cos {24^0}\cos {12^0}\\
 = \frac{1}{{{6^0}}}\left( {\sin {6^0}\cos {6^0}} \right)\cos {12^0}\cos {24^0}\cos {48^0}\\
 = \frac{1}{{\cos {6^0}}}\left( {\frac{1}{2}\sin {{12}^0}\cos {{12}^0}} \right)\cos {24^0}\cos {48^0}\\
 = \frac{1}{{\cos {6^0}}}.\frac{1}{4}\sin {24^0}\cos {24^0}\cos {48^0}\\
 = \frac{1}{{\cos {6^0}}}\left( {\frac{1}{8}\sin {{48}^0}\cos {{48}^0}} \right)\\
 = \frac{1}{{\cos {6^0}}}.\frac{1}{{16}}\sin {96^0} = \frac{{\cos {6^0}}}{{16\cos {6^0}}} = \frac{1}{{16}}
\end{array}\)

Bài 43 trang 214 SGK Toán 10 nâng cao

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, chứng minh:

\(\begin{array}{l}
a)\cos {75^0}\cos {15^0} = \sin {75^0}\sin {15^0} = \frac{1}{4}\\
b)\cos {75^0}\sin {15^0} = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{4}\\
c)\sin {75^0}\cos {15^0} = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{4}\\
d)\cos \alpha \sin \left( {\beta  - \gamma } \right) + \cos \beta \sin \left( {\gamma  - \alpha } \right) + \cos \gamma \sin \left( {\alpha  - \beta } \right) = 0,\forall \alpha ,\beta ,\gamma 
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\cos {75^0}\cos {15^0} = \frac{1}{2}\left( {\cos \left( {{{75}^0} - {{15}^0}} \right) + \cos \left( {{{75}^0} + {{15}^0}} \right)} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos {{60}^0} + \cos {{90}^0}} \right) = \frac{1}{4}\\
\sin {75^0}\sin {15^0} = \frac{1}{2}\left( {\cos \left( {{{75}^0} - {{15}^0}} \right) - \cos \left( {{{75}^0} + {{15}^0}} \right)} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos {{60}^0} - \cos {{90}^0}} \right) = \frac{1}{4}
\end{array}\) 

Vậy \(\cos {75^0}\cos {15^0} = \sin {75^0}\sin {15^0} = \frac{1}{4}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\cos {75^0}\sin {15^0} = \sin {15^0}\cos {75^0}\\
 = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {{{15}^0} - {{75}^0}} \right) + \sin \left( {{{15}^0} + {{75}^0}} \right)} \right]\\
 = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( { - {{60}^0}} \right) + \sin {{90}^0}} \right]\\
 = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{4}
\end{array}\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
\sin {75^0}\cos {15^0} = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {{{75}^0} - {{15}^0}} \right) + \sin \left( {{{75}^0} + {{15}^0}} \right)} \right]\\
 = \frac{1}{2}\left[ {\sin {{60}^0} + \sin {{90}^0}} \right]\\
 = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{4}
\end{array}\)

Câu d:

\(\begin{array}{l}
\cos \alpha \sin \left( {\beta  - \gamma } \right) = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\alpha  + \beta  - \gamma } \right) - \sin \left( {\alpha  - \beta  + \gamma } \right)} \right]\\
\cos \beta \sin \left( {\gamma  - \alpha } \right) = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\beta  + \gamma  - \alpha } \right) - \sin \left( {\beta  - \gamma  + \alpha } \right)} \right]\\
\cos \gamma \sin \left( {\alpha  - \beta } \right) = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\gamma  + \alpha  - \beta } \right) - \sin \left( {\gamma  - \alpha  + \beta } \right)} \right]\\
 \Rightarrow \cos \alpha \sin \left( {\beta  - \gamma } \right) + \cos \beta \sin \left( {\gamma  - \alpha } \right) + \cos \gamma \sin \left( {\alpha  - \beta } \right) = 0,\forall \alpha ,\beta ,\gamma
\end{array}\)


Bài 44 trang 214 SGK Toán 10 nâng cao

Đơn giản các biểu thức sau:

a) \(\sin \left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right)\)

b) \({\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{4} + \alpha } \right) - {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right)\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có \(\sin \left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right) = 2\cos \frac{\pi }{3}\sin \alpha  = \sin \alpha \)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{4} + \alpha } \right) - {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right)\\
 = \frac{{1 + \cos \left( {\frac{\pi }{2} + 2\alpha } \right)}}{2} - \frac{{1 + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2\alpha } \right)}}{2}\\
 = \frac{1}{2}\left( { - \sin 2\alpha  - \sin 2\alpha } \right) =  - \sin 2\alpha 
\end{array}\)


Bài 45 trang 214 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng:

a) \(\frac{{\sin \alpha  - \sin \beta }}{{\cos \alpha  - \cos \beta }} =  - \sqrt 3\) nếu \(\left\{ \begin{array}{l}
\alpha  + \beta  = \frac{\pi }{3}\\
\cos \alpha  \ne \cos \beta 
\end{array} \right.\)

b) \(\frac{{\cos \alpha  - \cos 7\alpha }}{{\sin 7\alpha  - \sin \alpha }} = \tan 4\alpha \) (khi các biểu thức có nghĩa)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\frac{{\sin \alpha  - \sin \beta }}{{\cos \alpha  - \cos \beta }} = \frac{{2\cos \frac{{\alpha  + \beta }}{2}\sin \frac{{\alpha  - \beta }}{2}}}{{ - 2\sin \frac{{\alpha  + \beta }}{2}\sin \frac{{\alpha  - \beta }}{2}}}\\
 =  - \cot \frac{{\alpha  + \beta }}{2} =  - \cot \frac{\pi }{6} =  - \sqrt 3 
\end{array}\)

Câu b:

\(\frac{{\cos \alpha  - \cos 7\alpha }}{{\sin 7\alpha  - \sin \alpha }} = \frac{{2\sin 4\alpha \sin 3\alpha }}{{2\cos 4\alpha \sin 3\alpha }} = \tan 4\alpha \)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 6 Bài 4 Một số công thức lượng giác với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt. 

 

 

 

AMBIENT
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_bg] => 
            [banner_picture] => 894_1634779022.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://kids.hoc247.vn/tieuhoc247
            [banner_startdate] => 2021-09-01 00:00:00
            [banner_enddate] => 2021-10-31 23:59:59
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)