Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 3 Luyện tập (tr 80, 81)

Giải và biện luận các phương trình sau (m là tham số):

a) 2(m + 1)x - m(x - 1) = 2m + 3;

b) m2(x - 1) + 3mx = (m2 + 3)x - 1;

c) 3(m + 1)x + 4 = 2x + 5(m + 1);

d) m2x + 6 = 4x + 3m.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

2(m + 1)x - m(x - 1) = 2m + 3;

⇔ (2m + 2)x – mx = 2m + 3 – m

⇔ (m + 2)x = m + 3

• Nếu m ≠ - 2 thì phương trình có nghiệm \(x = \frac{{m + 3}}{{m + 2}}\)
• Nếu m = - 2 thì 0x = 1 phương trình vô nghiệm

Câu b:

m2(x - 1) + 3mx = (m2 + 3)x – 1

⇔ m2x – m2 + 3mx = m2x + 3x – 1

⇔ 3(m – 1)x = m2 – 1

• Nếu m ≠ 1 thì phương trình có nghiệm \(x = \frac{{{m^2} - 1}}{{3\left( {m - 1} \right)}} = \frac{{m + 1}}{3}\)
• Nếu m = 1 thì 0x = 0. Phương trình có tập nghiệm S = R

Câu c:

3(m + 1)x + 4 = 2x + 5(m + 1)

⇔ (3m + 1)x = 5m + 1

• Nếu m ≠ \( - \frac{1}{3}\) thì phương trình có nghiệm \(x = \frac{{5m + 1}}{{3m + 1}}\)
• Nếu m = \( - \frac{1}{3}\) thì \(0x =  - \frac{2}{3}\), phương trình vô nghiệm

Câu d:

m2x + 6 = 4x + 3m

⇔ (m2 – 4)x = 3(m – 2)

• Nếu m2 – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ± 2 thì phương trình có nghiệm \(x = \frac{{3\left( {m - 2} \right)}}{{{x^2} - 4}} = \frac{3}{{m + 2}}\)
• Nếu m = 2 thì 0x = 0, ta có S = R
• Nếu m = - 2 thì 0x = - 12; S = Ø

---

a) Tìm các giá trị của p để phương trình sau vô nghiệm:

(p + 1)x – ( x + 2) = 0

b) Tìm p để phương trình: p²x - p = 4x – 2 có vô số nghiệm

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có (p + 1)x – (x + 2) = 0 ⇔ (p + 1)x – x – 2 = 0 ⇔ px = 2

Phương trình vô nghiệm ⇔ p = 0

Câu b:

Ta có p²x - p = 4x – 2  ⇔ (p² – 4)x = p – 2

Phương trình có vô số nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{p^2} - 4 = 0\\
p - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow p = 2\)

---

Tìm nghiệm gần đúng của phương trình sau chính xác đến hàng phần trăm.

a) \(x^2-5,6x+6,41=0\);

b) \(\sqrt 2 {x^2} + 4\sqrt 3 x - 2\sqrt 2  = 0\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\Delta  = 5,{6^2} - 4.6,41 = 31,36 - 25,64 = 5,72\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(\begin{array}{l}
{x_1} = \frac{{5,6 - \sqrt {5,72} }}{2} \approx 1,60\\
{x_2} = \frac{{5,6 + \sqrt {5,72} }}{2} \approx 4,00
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\sqrt 2 {x^2} + 4\sqrt 3 x - 2\sqrt 2  = 0\\
 \Leftrightarrow 2{x^2} + 4\sqrt 6 x - 4 = 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} + 2\sqrt 6 x - 2 = 0
\end{array}\)

Ta có \(\Delta ' = 6 + 2 = 8 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(\begin{array}{l}
{x_1} =  - \sqrt 6  - \sqrt 8  \approx  - 5,28\\
{x_2} =  - \sqrt 6  + \sqrt 8  \approx 0,28
\end{array}\)

---

Tìm độ dài các cạnh của một tam giác vuông, biết rằng cạnh dài nhất hơn cạnh dài thứ hai là 2m, cạnh dài thứ hai hơn cạnh ngắn nhất là 23m.

Hướng dẫn giải:

Gọi x(m) là độ dài cạnh góc vuông ngắn nhất

Khi đó, cạnh góc vuông thứ hai là x + 23 và cạnh huyền là x + 25 (m)

Ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}
{x^2} + {\left( {x + 23} \right)^2} = {\left( {x + 25} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 96 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 12\\
x =  - 8\,\,\left( l \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy ba cạnh của tam giác vuông cần tìm là: 12m; 35m; 37m

---

Giải và biện luận các phương trình sau (m và k là tham số),

a) (m - 1)x² + 7x - 12 = 0;

b) mx² - 2(m + 3)x + m + 1 = 0;

c) [(k + 1)x - 1](x - 1) = 0;

d) (mx - 2)(2mx - x + 1) = 0.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

(m - 1)x² + 7x - 12 = 0

• Với m = 1, phương trình trở thành: \(7x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{12}}{7}\)
• Với m ≠ - 1, ta có: Δ = 7² + 48(m – 1) = 48m + 1

   +  Δ < 0 ⇔ \(m <  - \frac{1}{{48}}\) phương trình vô nghiệm

   + Δ ≥ 0 ⇔ \(m \ge  - \frac{1}{{48}}\) thì phương trình có hai nghiệm: \(x = \frac{{ - 7 \pm \sqrt {48m + 1} }}{{2\left( {m - 1} \right)}}\)

Câu b:

mx² - 2(m + 3)x + m + 1 = 0

• Với m = 0, phương trình trở thành: \( - 6x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{6}\)
• Với m ≠ 0. Ta có: Δ’ = (m + 3)² – m(m + 1) = 5m + 9         

Δ < 0 ⇔ \(\Delta  < 0 \Leftrightarrow m <  - \frac{9}{5}\) phương trình vô nghiệm

Δ ≥ 0 ⇔ \(\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - \frac{9}{5}\), phương trình có hai nghiệm: \(x = \frac{{m + 3 \pm \sqrt {5m + 9} }}{m}\)

Câu c:

Ta có \(\left[ {\left( {k + 1} \right)x - 1} \right]\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
\left( {k + 1} \right)x = 1\,\,\left( 1 \right)
\end{array} \right.\)

• Nếu k = - 1 thì (1) vô nghiệm. Do đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1
• Nếu k ≠ - 1 thì (1) có nghiệm 

Ta có: \(\frac{1}{{k + 1}} = 1 \Leftrightarrow k = 0\)

Do đó:

i) k = 0; S = {1}

ii) k ≠ 0 và k ≠ -1: \(S = \left\{ {1;\frac{1}{{k + 1}}} \right\}\)

iii) k = -1: S = {1}

Câu d:

Ta có \(\left( {mx - 2} \right)\left( {2mx - x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
mx = 2\\
\left( {2m - 1} \right)x =  - 1
\end{array} \right.\)

• Nếu m = 0 thì x = 1
• Nếu m = \(\frac{1}{2}\) thì x = 4
• Nếu m ≠ 0 và m ≠ \(\frac{1}{2}\) thì phương trình có hai nghiệm là: \(x = \frac{2}{m};x = \frac{1}{{1 - 2m}}\)

---

Biện luận số giao điểm của hai parabol y = - x² - 2x + 3 và y = x² - m theo tham số m.

Hướng dẫn giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol là:

\(\begin{array}{l}
{x^2} - m =  - {x^2} - 2x + 3\\
 \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - m - 3 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\
\Delta ' = 1 + 2\left( {m + 3} \right) = 2m + 7
\end{array}\)

• \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m >  - \frac{7}{2}\): (1) có hai nghiệm phân biệt, khi đó hai parabol cắt nhau tại hai điểm.
• \(\Delta ' = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{7}{2}\): (1) có hai nghiệm kép, khi đó hai parabol có một điểm chung.
• \(\Delta ' < 0 \Leftrightarrow m <  - \frac{7}{2}\): (1) vô nghiệm, khi đó hai parabol không có điểm chung.

---

Tìm các giá trị của m để phương trình x² - 4x + m - 1 = 0 có hai nghiệm x₁ và x₂ thỏa mãn hệ thức x₁³ + x₂³ = 40.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện để phương trình có nghiệm:

Δ' = 4 – (m – 1) = 5 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 5

Khi đó: x₁ + x₂ = 4; x₁x₂ = m – 1

Ta có:

x₁³ + x₂³ = 40 ⇔ (x₁ + x₂)(x₁² + x₂² – x₁x₂) = 40

⇔ (x₁ + x₂)[(x₁ + x₂)² – 3x₁x₂] = 40

⇔ 4[16 – 3(m – 1)] = 40

⇔ 12m = 36 ⇔ m = 3 (nhận)

---

Giải phương trình x² + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0, biết rằng nó có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ bằng 17.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Δ = (4m + 1)² – 8( m – 4) = 16m² + 33 > 0; ∀m

Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 

x₁ + x₂ = - 4m – 1; x₁x₂ = 2(m – 4) (x₁ > x₂)

Ta có:

 x₁ – x₂ = 17  ⇔ (x₁ – x₂)₂ = 289

⇔ (x₁ + x₂)² – 4x1x2 = 289

⇔ (4m + 1)² – 8(m – 4) = 289

⇔ 16m² + 33 = 289

⇔ m = ± 4

• Với m = 4 phương trình có 2 nghiệm: 

\(\begin{array}{l}
{x_1} = \frac{{ - 17 - \sqrt {289} }}{2} =  - 17\\
{x_2} = \frac{{ - 17 + \sqrt {289} }}{2} = 0
\end{array}\)

• Với m = - 4 phương trình có 2 nghiệm:

\(\begin{array}{l}
{x_1} = \frac{{15 - \sqrt {289} }}{2} =  - 1\\
{x_2} = \frac{{15 + \sqrt {289} }}{2} = 16
\end{array}\)

---

Không giải phương trình, hãy xét xem mỗi phương trình trùng phương sau có bao nhiêu nghiệm

a) x⁴ + 8x² + 12 = 0;

b) -1,5x⁴ - 2,6x² + 1 = 0;

c) \(\left( {1 - \sqrt 2 } \right){x^4} + 2{x^2} + 1 - \sqrt 2  = 0\)

d) \( - {x^4} + \left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right){x^2} = 0\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

x⁴ + 8x² + 12 = 0

Ta có: Δ’ = 4 > 0; S = - 8 < 0; P = 12 > 0

Phương trình t² + 8t + 12 = 0 có hai nghiệm âm nên phương trình trùng phương đã cho vô nghiệm.

Câu b:

Do -1,5 và 1 trái dấu nên phương trình - 1,5y² - 2,6y + 1 = 0 có một nghiệm âm, một nghiệm dương,

Do đó phương trình trùng phương đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt.

Câu c:

Xét phương trình: \(\left( {1 - \sqrt 2 } \right){y^2} + 2y - 1 - \sqrt 2  = 0\)

Có: \(\Delta ' = 1 + \left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \sqrt 2 } \right) = 1 + 1 - 2 = 0\)

Suy ra phương trình này có nghiệm kép \({y_1} = {y_2} = \frac{{ - 1}}{{1 - \sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2  - 1}} > 0\)

Do đó phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt.

Câu d:

Phương trình \( - {t^2} + \left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)t = 0\) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương nên phương trình trùng phương có 3 nghiệm.

---

Cho phương trình: kx² - 2(k + 1)x + k + 1 = 0.

a) Tìm k để phương trình trên có ít nhất một nghiệm dương.

b) Tìm các giá trị của k để phương trình trên có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1.

(Hướng dẫn: Đặt x = y + 1).

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Với k = 0 ta có: \( - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\) (nhận)

Với k ≠ 0, ta có: Δ’ = (k + 1)² – k(k + 1) = k + 1

Phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi P < 0 hoặc phương trình có hai nghiệm dương hoặc phương trình có một nghiệm bằng 0 và nghiệm kia dương.

+ Trường hợp 1: P < 0 ⇔ k(k + 1) < 0 ⇔ -1 < k < 0

+ Trường hợp 2:

\(\left\{ \begin{array}{l}
\Delta  \ge 0\\
S > 0\\
P > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k + 1 \ge 0\\
\frac{{2\left( {k + 1} \right)}}{k} > 0 \Leftrightarrow k > 0\\
\frac{{k + 1}}{k} > 0
\end{array} \right.\)

+ Trường hợp 3: x = 0 là nghiệm ⇒ k = -1

Khi đó, phương trình trở thành –x² = 0 ⇔ x = 0

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi k > -1

Câu b:

Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn:

\(\begin{array}{l}
{x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1\\
 \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) < 0\\
 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{k + 1}}{k} - \frac{{2\left( {k + 1} \right)}}{k} + 1 < 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{k + 1 - 2k - 2 + k}}{k} < 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{k} < 0 \Leftrightarrow k > 0
\end{array}\)

Ta thấy rằng k > 0 thỏa mãn \(\Delta  = k + 1 > 0\)

Vậy giá trị k cần tìm là k > 0.

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 3 Luyện tập (trang 80, 81) với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.