Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 3 Bài 5 Đường Elip

Cho elip (E) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Hỏi trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Tiêu cự của (E) là 2c, trong đó c² = a²−b².

b) (E) có độ dài trục lớn bằng 2a, độ dài trục bé bằng 2b,

c) (E) có tâm sai \(e =  - \frac{c}{a}\)

d) Tọa độ các tiêu điểm của (E) là F₁ = (−c;0),F₂ = (c;0).

e) Điểm (b;0) là một đỉnh của (E).

Hướng dẫn giải:

Các mệnh đề đúng là: a);  b);  d).

Các mệnh đề sai là: c);  e).

---

Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài trục lớn, độ dài trục bé của mỗi elip có phương trình sau 

a) \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\);

b) \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)

c) \({x^2} + 4{y^2} = 4\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có \(a = 5;b = 2;c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt {21} \)

Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { - \sqrt {21} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {21} ;0} \right)\)

Tọa độ các đỉnh: A₁(−5;0); A₂(5;0); B₁(0;−2); B₂(0;2)

Độ dài trục lớn 2a = 10, độ dài trục bé 2b = 4

Câu b:

Ta có: \(a = 3;b = 2;c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt 5 \)

Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { - \sqrt 5 ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\)

Tọa độ các đỉnh: A₁(−3;0); A₂(3;0); B₁(0;−2); B₂(0;2).

Độ dài trục lớn 2a = 6, độ dài trục bé 2b = 4

Câu c:

Ta có: \({x^2} + 4{y^2} = 4 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1\)

\(a = 2;b = 1;c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt 3 \).

Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\)

Tọa độ các đỉnh: A₁(−2;0); A₂(2;0); B₁(0;−1); B₂(0;1).

Độ dài trục lớn 2a = 4, độ dài trục bé 2b = 2

---

Viết phương trình chính tắc của đường elip (E) trong mỗi trường hợp sau

a) (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai \(e = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\);

b) (E) có độ dài trục bé bằng 8 và tiêu cự bằng 4;

c) (E) có một tiêu điểm là \(F\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

 \(\begin{array}{l}
2a = 8 \Leftrightarrow a = 4\\
e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow c = 2\sqrt 3 \\
{b^2} = {a^2} - {c^2} = 16 - 12 = 4
\end{array}\)

Vậy \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)

Câu b:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
2b = 8 \Leftrightarrow b = 4\\
2c = 4 \Leftrightarrow c = 2\\
{a^2} = {b^2} + {c^2} = 16 + 4 = 20
\end{array}\)

Vậy \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{20}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

Câu c:

Ta có: \(c = \sqrt 3  \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 3\)

Giả sử \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

\(M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \in \left( E \right)\) nên \(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{3}{{4{b^2}}} = 1\)

Ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} - {b^2} = 3\\
\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{3}{{4{b^2}}} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = {b^2} + 3\\
\frac{1}{{{b^2} + 3}} + \frac{3}{{4{b^2}}} = 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = {b^2} + 3\\
4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^4} + 12{b^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = {b^2} + 3\\
4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{b^2} =  - \frac{9}{4}\left( l \right)\\
{b^2} = 1 \Rightarrow {a^2} = 4
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

---

Cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).

a) Tính độ dài dây cung của (E) đi qua một tiêu điểm và vuông góc với trục tiêu (đoạn thẳng nối hai điểm của elip gọi là dây cung của elip, trục chứa các tiêu điểm gọi là trục tiêu của elip).

b) Tìm trên (E) điểm M sao cho MF₁ = 2MF₂, trong đó F₁, F₂ lần lượt là các tiêu điểm của (E) nằm bên trái và bên phải trục tung.

Hướng dẫn giải:

 

Câu a:

Ta có: \(a = 3;b = 1;c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 2\sqrt 2 \)

\({F_1}\left( { - 2\sqrt 2 ;0} \right),{F_2}\left( {2\sqrt 2 ;0} \right)\)

Gọi M là điểm trên (E) có hoành độ \(x = 2\sqrt 2 \)

Thay \(x = 2\sqrt 2 \) vào phương trình (E) ta được: 

\(\frac{8}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow y =  \pm \frac{1}{3}\)

Vậy \({M_1}\left( {2\sqrt 2 ;\frac{1}{3}} \right),{M_2}\left( {2\sqrt 2 ; - \frac{1}{3}} \right)\) và độ dài dây cung cần tìm là \({M_1}{M_2} = \frac{2}{3}\)

Câu b:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
M{F_1} = a + \frac{c}{a}c = 3 + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}x\\
M{F_2} = a - \frac{c}{a}x = 3 - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}x\\
M{F_1} = 2M{F_2} \Leftrightarrow 3 + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}x = 6 - \frac{{4\sqrt 2 }}{3}x\\
 \Leftrightarrow 2\sqrt 2 x = 3 \Leftrightarrow x = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}
\end{array}\)

Thay \(x = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\) vào phương trình elip ta được:

\(\frac{2}{{16}} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = \frac{7}{8} \Leftrightarrow y =  \pm \frac{{\sqrt {14} }}{4}\)

Vậy \({M_1}\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{4};\frac{{\sqrt {14} }}{4}} \right),{M_2}\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{4}; - \frac{{\sqrt {14} }}{4}} \right)\).

---

Vệ tinh nhân tạo đầu tiên được Liên Xô (cũ) phóng từ Trái đất năm 1957. Quỹ đạo của vệ tinh đó là một đường elip nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Người ta đo được vệ tinh cách bề mặt Trái Đất gần nhất là 583 dặm và xa nhất là 1342 dặm (1 dặm ≈ 1,609km). Tìm tâm sai của quỹ đạo đó biết bán kính của Trái Đất xấp xỉ 4000 dặm.

Hướng dẫn giải:

Giả sử tâm trái đất là: F₁(−c;0)

MF₁ có giá trị nhỏ nhất là: a−c và có giá trị lớn nhất là a+c. Do đó

a+c = 1342+4000 = 5342

a−c = 583+4000 = 4583

Từ đó suy ra: 2a = 9925; 2c = 759.

Do đó: \(e = \frac{c}{a} = \frac{{759}}{{9925}} \approx 0,07647\)

---

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A chạy trên trục Ox, điểm B chạy trên trục Oy nhưng độ dài đoạn AB bằng a không đổi. Tìm tập hợp các điểm M thuộc đoạn AB sao cho MB = 2MA.

Hướng dẫn giải:

 

Giả sử: A(x₀;0); B(0;y₀)

\(AB = a \Leftrightarrow \sqrt {x_0^2 + y_0^2}  = a \Leftrightarrow x_0^2 + y_0^2 = {a^2}\)

M thuộc đoạn AB và MB = 2MA nên \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)

Giả sử: M(x;y), khi đó: \(\overrightarrow {AM}  = \left( {x - {x_0};y} \right),\overrightarrow {AB}  = \left( { - {x_0};{y_0}} \right) \)

\(3\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3\left( {x - {x_0}} \right) =  - {x_0}\\
3y = {y_0}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = \frac{3}{2}x\\
{y_0} = 3y
\end{array} \right.\\
x_0^2 + y_0^2 = {a^2} \Leftrightarrow \frac{9}{4}{x^2} + 9{y^2} = {a^2}\\
 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\frac{{2a}}{3}} \right)}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\frac{a}{3}} \right)}^2}}} = 1
\end{array}\)

Vậy tập hợp điểm M là elip có phương trình là: 

\(\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\frac{{2a}}{3}} \right)}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\frac{a}{3}} \right)}^2}}} = 1\)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 3 Bài 5 Đường elip và góc bất kì với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.