Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 3 Bài 4 Đường tròn

Cho phương trình

x²+y²+px+(p−1)y = 0  (1)

Hỏi trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) (1) là phương trình của một đường tròn.

b) (1) là phương trình của một đường tròn đi qua gốc tọa độ.

c) (1) là phương trình của một đường tròn có tâm \(J\left( { - \frac{p}{2}; - \frac{{p - 1}}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \frac{1}{2}\sqrt {2{p^2} - 2p + 1} \).

Hướng dẫn giải:

Phương trình đường tròn có dạng: x²+y²+2ax+2by+c = 0, với điều kiện: a²+b² > c.

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2a = p\\
2b = p - 1\\
c = 0
\end{array} \right. \Rightarrow a = \frac{p}{2};b = \frac{{p - 1}}{2}\\
{a^2} + {b^2} = \frac{1}{4}\left( {2{p^2} - 2p + 1} \right) > 0
\end{array}\)

Vậy các mệnh đề đúng là: a), b), d). Mệnh đề sai: c).

---

Viết phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau

a) (C) có tâm I(1;3) và đi qua điểm A(3;1)

b) (C) có tâm I(- 2;0) và tiếp xúc với đường thẳng Δ: 2x+y−1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Bán kính đường tròn (C) là: \(IA = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt 2 \)

Phương trình đường tròn (C) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 8\)

Câu b:

Bán kính của đường tròn (C) là:

 \(R = d\left( {I;\Delta } \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) + 0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt 5 }} = \sqrt 5 \)

Phương trình đường tròn (C) là:  (x+2)²+y² = 5.

---

Tìm tâm và bán kính của đường tròn cho bởi mỗi phương trình sau

a) x²+y²−2x−2y−2 = 0;

b) x²+y²−4x−6y+2 = 0;

c) 2x²+2y²−5x−4y+1+m² = 0.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: a = −1; b = −1; c = −2

\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c}  = \sqrt {{1^2} + {1^2} + 2}  = 2\)

Tâm đường tròn là I(1;1) và bán kính R = 2.

Câu b:

Ta có: a = −2; b = − 3; c = 2

\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c}  = \sqrt {{2^2} + {3^2} - 2}  = \sqrt {11} \)

Đường tròn đã cho có tâm I(2, 3) , bán kính \(R = \sqrt {11} \)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
2{x^2} + 2{y^2} - 5x - 4y + 1 + {m^2} = 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - \frac{5}{2}x - 2y + \frac{{1 + {m^2}}}{2} = 0
\end{array}\)

Ta có: \(a =  - \frac{5}{4};b =  - 1;c = \frac{{1 + {m^2}}}{2}\)

Điều kiện: 

\(\begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} > c \Leftrightarrow \frac{{25}}{{16}} + 1 - \frac{{1 + {m^2}}}{2} > 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{33 - 8{m^2}}}{{16}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} < \frac{{33}}{8} \Leftrightarrow \left| m \right| < \sqrt {\frac{{33}}{8}} 
\end{array}\)

Với điều kiện \(\left| m \right| < \sqrt {\frac{{33}}{8}} \) thì (C) là đường tròn có tâm \(I\left( {\frac{5}{4};1} \right)\) và bán kính \(R = \frac{1}{4}\sqrt {33 - 8{m^2}} \)

---

Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm M(1;−2), N(1;2), P(5;2).

Hướng dẫn giải:

Phương trình đường tròn có dạng: x²+y²+2ax+2by+c = 0.

Do M, N, P thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình với ba ẩn số a, b, c.

\(\left\{ \begin{array}{l}
5 + 2a - 4b + c = 0\\
5 + 2a + 4b + c = 0\\
29 + 10a + 4b + c = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 3\\
b = 0\\
c = 1
\end{array} \right.\)

Vậy phương trình cần tìm là: x²+y²−6x+1 = 0 hay (x−3)²+y² = 8

---

a) Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và đi qua điểm

b) Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm (1;1), (1;4) và tiếp xúc với trục Ox.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Vì M(2;1) nằm trong góc phần tư thứ nhất nên đường tròn cần tìm (C) cũng ở trong góc phần tư thứ nhất.

(C) tiếp xúc với Ox và Oy nên (C) có tâm I(a; a) và bán kính R= a ( a > 0 ).

Do đó (C) có phương trình là: (x−a)²+(y−a)² = a²

Vì M(2;1) ∈ (C) nên: 

\({\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {1 - a} \right)^2} = {a^2} \Leftrightarrow {a^2} - 6a + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 1\\
a = 5
\end{array} \right.\)

• Với a = 1 ta có (C): (x−1)²+(y−1)² = 1.
• Với a = 5 ta có (C): (x−5)2+(y−5)²=25.

Câu b:

Phương trình đường thẳng Ox: y = 0

Giả sử: I(a;b) là tâm của đường tròn cần tìm.

Ta có: R = d(I;Ox) = |b|

Phương trình đường tròn có dạng:

(C): (x−a)²+(y−b)² = b²

Vì (1;1) ∈ (C) và (1;4) ∈ (C)  nên ta có hệ: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {b^2}\left( 1 \right)\\
{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2} = {b^2}\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)

Từ hệ trên ta suy ra: \({\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( {4 - b} \right)^2} \Leftrightarrow b = \frac{5}{2}\).

Thay \(b = \frac{5}{2}\) vào (1) ta được: a = 3, a = −1

Vậy có hai phương trình đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán:

\(\begin{array}{l}
{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - \frac{5}{3}} \right)^2} = \frac{{25}}{4};\\
{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - \frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{{25}}{4}
\end{array}\)

---

Tìm tọa độ các giao điểm của đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y =  - 2 + t
\end{array} \right.\) và đường tròn (C): (x−1)²+(y−2)² = 16

Hướng dẫn giải:

Thay x = 1+2t; y = −2+t vào phương trình đường tròn ta được:

\({\left( {2t} \right)^2} + {\left( {t - 4} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow 5{t^2} - 8t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 0\\
t = \frac{8}{5}
\end{array} \right.\)

• Với t = 0 ta có x=1,y=−2 và  có giao điểm A(1,−2)
• Với \(t = \frac{8}{5}\) ta có \(x = \frac{{21}}{5};y =  - \frac{2}{5}\) và có giao điểm \(B\left( {\frac{{21}}{5}; - \frac{2}{5}} \right)\).

---

 Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn x²+y² = 4 trong mỗi trường hợp sau

a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng 3x−y+17 = 0;

b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x+2y−5 = 0;

c) Tiếp tuyến đi qua điểm (2;- 2)

Hướng dẫn giải:

Đường tròn (C): x²+y² = 4 có tâm O(0;0 ), bán kính R = 2.

Câu a:

Tiếp tuyến song song với đường thẳng 3x−y+17 = 0 có dạng Δ: 3x−y+c = 0.

Ta có: \(d\left( {O,d} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {{3^2} + 1} }} = 2 \Leftrightarrow c =  \pm 2\sqrt {10} \)

Vậy các tiếp tuyến cần tìm là:

\(3x - y - 2\sqrt {10}  = 0;3x - y + 2\sqrt {10}  = 0\).

Câu b:

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x+2y−5 = 0 có dạng d: 2x−y+c = 0.

Ta có: \(d\left( {O,d} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = 2 \Leftrightarrow c =  \pm 2\sqrt 5 \)

Vậy các tiếp tuyến cần tìm là: 

\(2x - y - 2\sqrt 5  = 0;2x - y + 2\sqrt 5  = 0\)

Câu c:

Gọi Δ₁ là đường thẳng đi qua (2; -2)

Δ₁ có dạng A(x – 2) + B(y + 2) = 0 (A² + B² ≠ 0)

Δ₁ là tiếp tuyến của (C) ⇔ d(I, Δ1) = R

\(\frac{{\left| { - 2A + 2B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }} = 2 \Leftrightarrow {\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} + {B^2} \Leftrightarrow A.B = 0\)

Nếu A = 0 ⇒ B ≠ 0, ta có tiếp tuyến cần tìm là y + 2 = 0

Nếu B = 0 ⇒ A ≠ 0, ta có tiếp tuyến cần tìm là x – 2 = 0

---

 Xét vị trí tương đối của đường thẳng Δ và đường tròn (C) sau đây: 

Δ: 3x+y+m = 0,

(C): x²+y²−4x+2y+1 = 0.

Hướng dẫn giải:

(C) có tâm I(2;−1) và bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {1^2} - 1}  = 2\)

Khoảng cách từ I đến Δ là:

\(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.2 - 1 + m} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {5 + m} \right|}}{{\sqrt {10} }}\)

• Nếu \(\frac{{\left| {5 + m} \right|}}{{\sqrt {10} }} > 2 \Leftrightarrow \left| {m + 5} \right| > 2\sqrt {10}  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
  m <  - 5 - 2\sqrt {10} \\
  m >  - 5 + 2\sqrt {10} 
  \end{array} \right.\) thì Δ và (C) cắt nhau.
• Nếu \(\frac{{\left| {5 + m} \right|}}{{\sqrt {10} }} = 2 \Leftrightarrow \left| {m + 5} \right| = 2\sqrt {10}  \Leftrightarrow m =  - 5 \pm 2\sqrt {10} \) thì Δ và (C) tiếp xúc.
• Nếu \(\frac{{\left| {5 + m} \right|}}{{\sqrt {10} }} < 2 \Leftrightarrow \left| {m + 5} \right| < 2\sqrt {10}  \Leftrightarrow  - 5 - 2\sqrt {10}  < m <  - 5 + 2\sqrt {10} \) thì Δ và (C) không cắt nhau.

---

Tìm tọa độ các giao điểm của hai đường tròn sau đây

(C): x²+y²+2x+2y−1 = 0,

(C′): x²+y²−2x+2y−7 = 0.

Hướng dẫn giải:

(C): x²+y²+2x+2y−1 = 0    (1)

(C′): x²+y²−2x+2y−7 = 0   (2)

Lấy (1) trừ (2) ta được \(4x + 6 = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{3}{2}\)

Thay \(x =  - \frac{3}{2}\) vào (1) ta được:

\(\frac{9}{4} + {y^2} - 3 + 2y - 1 = 0 \Leftrightarrow {y^2} + 2y - \frac{7}{4} = 0 \Leftrightarrow y =  - 1 \pm \frac{{\sqrt {11} }}{2}\)

Tọa độ hai giao điểm của (C) và (C’) là:

\(\left( { - \frac{3}{2}; - 1 - \frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right);\left( { - \frac{3}{2}; - 1 + \frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)\)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 3 Bài 4 Đường tròn và góc bất kì với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.